陥没地帯 (176) - ノリの悪い日記

ホオノキ。一年以上前も記事で、かつて同じ町内に住んでいた唐木順三が昭和三十二年に書いた文章を紹介したことがある (随筆集「朴の木」所収)。

ここには朴の木が多い。あの木も私はすきである。すくすくと素直に延びてゆくのがすきである。筆の穂先のような芽がほころびるときが美しい。花はもろい。葉の落ちたあとに大きな蒴果 (さっか) が残る。堅固な網にかこまれた中に小粒の赤い実が美しい。この赤い実をとりにヒヨドリが群れてくる。私の家の周囲にこの朴の木が六本ある。

そのときに「わずか 60 年あまりのトポスとしての記憶すら喪ってしまった現在に朴の木が残されているはずもない」などとつい詠嘆めいたことを書いてしまったが、最近、同じ町内に朴の木が一本だけ残っているのを見つけて、花が咲きそうなので楽しみにしていた。陶芸家の近くにも無残に切られた朴の木があるが、花こそつけていないものの、葉っぱを元気に出していた。

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エゴノキ。
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ツリバナ。陶芸家の庭で撮影。
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サギゴケだと思う。白花で群生していた。
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センダン。
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極線の重要な性質について. なお, 極線の定義は $(174)$ の記事で述べたように, 極点が円の内部にあることを許し, 接点も包含するように拡張したものである.

円 $O$ の外部の点 $Q$ をとり, $Q$ の極線を $AB$ とする. $AB$ 上かつ円 $O$ の内部に $P'$ をとる. $OP'$ を延長した線に, $Q$ から垂線をおろし, その足を $Q'$ とする. $\angle QPB = \angle QQ'P' = 90^\circ$ なので, 四角形の頂点 $P$ , $P'$ , $Q'$ , $Q$ は同一円周上にある. したがって方べきの定理により, $OP \cdot OQ = OP' \cdot OQ'$ である. このことから, 垂線の足 $Q'$ は点 $P'$ の円 $O$ に関する反転である. したがって $P'$ の極線は $Q$ を通る.

$Q$ の極線上の点が円周上にあれば (すなわち $B$ である), $B$ の接線は当然 $Q$ を通る.

$AB$ 上かつ円 $O$ の外部に $Q"$ をとる. $OQ"$ に, $Q$ から垂線をおろし, その足を $P"$ とする. $\angle QPB = \angle QP"Q" = 90^\circ$ なので, 四角形の頂点 $Q$ , $P$ , $P"$ , $Q"$ は同一円周上にある. したがって方べきの定理により, $OP \cdot OQ = OP" \cdot OQ"$ である. このことから, 垂線の足 $P"$ は点 $Q"$ の円 $O$ に関する反転である. したがって $Q"$ の極線は $Q$ を通る.

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