ハクウンボク。
コゴメウツギ。
スイカズラ。
反転 について.
ひとつの定点 と定線
上の任意の点
を結ぶ直線
上に
(
は正の定数) を満足するように
をとったとき, 点
の軌跡
を点
を中心とする
の反形という. また点
について
と点対称である点
の軌跡を逆反形と呼ぶ. このように
から
を求めることを「反転」という.
まず, として定直線
をとってみる. 中心
が
上にあれば, 反転によって
上の任意の点
は, また
上の点
に移るのは明らかなので, 中心
は直線
に含まれない点とする.
から
に垂線
を下ろし,
上に
となるよう定点
をとる.
に任意の点
をとる. 反転した点
は
をみたすので, 方べきの定理の逆から
,
,
,
は同一円周上にある. そうすると
なので,
は
を直径の両端とする定円上にある. 逆はこの円周上の任意の点
をとり, 直線
と直線
の交点を
とすれば, 同様に成立する.//
次に が円周で,
がこの円周上にある場合を考える.
を通る円
の直径
またはその延長上に
となるよう定点
をとる.
円周上に任意の点
をとる. 点
は
をみたすので, 方べきの定理の逆から
,
,
,
は同一円周上にある. そうすると点
は直線
と 直交する直線
上にある. 逆も同様である.//
次に中心 が
円上にない場合を考える.
と円
の中心を通る直線と円
の交点を
,
とする. 直線
上に
となるよう定点
を,
となるよう定点
をそれぞれとる.
円周上に任意の点
をとる. 点
は
をみたすので, 方べきの定理の逆から
,
,
,
および
,
,
,
は同一円周上にある. そうすると
かつ
なので
である. したがって,
は
を直径の両端とする定円上にある. 逆も同様に証明できる.
//
下の図で と
は点
から円
への接線である. 直角三角形
は, 直角三角形
と相似なので
から
で,
とすれば, 点
と 点
は中心
について反形である. これを (半径
の) 円
についての反転ということがある.
を極線といい, 点
を極点と呼ぶこともあるが, 円の方程式が
で
の座標を
とすれば, 極線の方程式は接線の方程式同様に
となることは, 高校数学で学ぶべき内容のひとつである. 実は
点と
点の位置を入れ替えたときに
を通り
に直交する直線も極線と呼ぶように定義を拡張すれば, 極線の方程式はやはり
のままであり美しい結果である.
点 ,
が円
について反転の関係にあれば,
なので,
と
は相似になる. したがって
である.
反転の関係にある 点
,
を通る任意の円
を考えると, 下図で
なので方べきの定理の逆により, 直線
は円
の接線であり, したがって, 直線
は円
の接線である.
つの接線は直交する (
つの円は直交する). 逆に円
と直交する円
を与えたときに, 円
の中心を通り円
と
点で交わる直線を引けば, その二つの交点は方べきの定理により, 反転の関係になり, 円
は, 反転により自分自身に移ることもすぐにわかる.
反形の場合, なので
と
は相似である. したがって高さ
と
の比もその相似比に等しい.
円に内接する四角形 についてトレミーの定理が成立することを反転を使って示す.
まず,
であることを確認しておく. 先程の相似の関係から,
※ ,
の図示は省略した.
ここで, と
は相似である. なぜなら, 四角形
と四角形
はそれぞれ同一円周上にあるので,
から であり, 同様にして
から, だからである. そうすると、
がいえる. 同様の証明を繰り返せば
がいえる (下図参照).
以上から,
であるので, トレミーの定理,
を示せた.//