ハクウンボク。
コゴメウツギ。
スイカズラ。
反転 について.
ひとつの定点 と定線 上の任意の点 を結ぶ直線 上に ( は正の定数) を満足するように をとったとき, 点 の軌跡 を点 を中心とする の反形という. また点 について と点対称である点 の軌跡を逆反形と呼ぶ. このように から を求めることを「反転」という.
まず, として定直線 をとってみる. 中心 が 上にあれば, 反転によって 上の任意の点 は, また 上の点 に移るのは明らかなので, 中心 は直線 に含まれない点とする.
から に垂線 を下ろし, 上に となるよう定点 をとる. に任意の点 をとる. 反転した点 は をみたすので, 方べきの定理の逆から , , , は同一円周上にある. そうすると なので, は を直径の両端とする定円上にある. 逆はこの円周上の任意の点 をとり, 直線 と直線 の交点を とすれば, 同様に成立する.//
次に が円周で, がこの円周上にある場合を考える.
を通る円 の直径 またはその延長上に となるよう定点 をとる. 円周上に任意の点 をとる. 点 は をみたすので, 方べきの定理の逆から , , , は同一円周上にある. そうすると点 は直線 と 直交する直線 上にある. 逆も同様である.//
次に中心 が 円上にない場合を考える.
と円 の中心を通る直線と円 の交点を , とする. 直線 上に となるよう定点 を, となるよう定点 をそれぞれとる. 円周上に任意の点 をとる. 点 は をみたすので, 方べきの定理の逆から , , , および , , , は同一円周上にある. そうすると かつ なので である. したがって, は を直径の両端とする定円上にある. 逆も同様に証明できる.
//
下の図で と は点 から円 への接線である. 直角三角形 は, 直角三角形 と相似なので から で, とすれば, 点 と 点 は中心 について反形である. これを (半径 の) 円 についての反転ということがある. を極線といい, 点 を極点と呼ぶこともあるが, 円の方程式が で の座標を とすれば, 極線の方程式は接線の方程式同様に となることは, 高校数学で学ぶべき内容のひとつである. 実は 点と 点の位置を入れ替えたときに を通り に直交する直線も極線と呼ぶように定義を拡張すれば, 極線の方程式はやはり のままであり美しい結果である.
点 , が円 について反転の関係にあれば, なので, と は相似になる. したがって である.
反転の関係にある 点 , を通る任意の円 を考えると, 下図で なので方べきの定理の逆により, 直線 は円 の接線であり, したがって, 直線 は円 の接線である. つの接線は直交する ( つの円は直交する). 逆に円 と直交する円 を与えたときに, 円 の中心を通り円 と 点で交わる直線を引けば, その二つの交点は方べきの定理により, 反転の関係になり, 円 は, 反転により自分自身に移ることもすぐにわかる.
反形の場合, なので と は相似である. したがって高さ と の比もその相似比に等しい.
円に内接する四角形 についてトレミーの定理が成立することを反転を使って示す.
まず,
であることを確認しておく. 先程の相似の関係から,
※ , の図示は省略した.
ここで, と は相似である. なぜなら, 四角形 と四角形 はそれぞれ同一円周上にあるので,
から であり, 同様にして
から, だからである. そうすると、 がいえる. 同様の証明を繰り返せば がいえる (下図参照).
以上から,
であるので, トレミーの定理,
を示せた.//