ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (174)

ハクウンボク。
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コゴメウツギ。
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スイカズラ。
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反転 について。

ひとつの定点  O と定線  K 上の任意の点  P を結ぶ直線  OP 上に  OP \cdot OP' = r^2 ( r は正の定数) を満足するように  P' をとったとき、点  P' の軌跡  K' を点  O を中心とする  K の反形という。また点  O について  P' と点対称である点  P'' の軌跡を逆反形と呼ぶ。このように  K から  K' を求めることを「反転」という。

まず、 K として定直線  XY をとってみる。中心  O XY 上にあれば、反転によって  XY 上の任意の点  P \neq O は、また  XY 上の点  P' に移るのは明らかなので、中心  O は直線  XY に含まれない点とする。

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 O から  XY に垂線  OH を下ろし、 OH 上に  OH \cdot OH' = r^2 となるよう定点  H' をとる。 XY に任意の点  P をとる。点  P' OP \cdot OP' = r^2 をみたすので、方べきの定理の逆から  H, \ H',\ P,\ P' は同一円周上にある。そうすると  \angle OP'H' = 90^\circ なので、 P' OH' を直径の両端とする定円上にある。逆はこの円周上の任意の点  P' をとり、直線  OP' と直線  XY の交点を  P とすれば、同様に成立する。//

次に  K が円周で、 O がこの円周上にある場合を考える。

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 O を通る円  K の直径  OA またはその延長上に  OA \cdot OA' = r^2 となるよう定点  A' をとる。 K 円周上に任意の点  P \neq O をとる。点  P' OP \cdot OP' = r^2 をみたすので、方べきの定理の逆から  A, \ A',\ P,\ P' は同一円周上にある。そうすると点  P' は直線  OA と 直交する直線  XY 上にある。逆も同様である。//

次に中心  O K 円上にない場合を考える。

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 O と円  K の中心を通る直線と円  K の交点を  A, \ B とする。直線  OA 上に  OA \cdot OA' = r^2 となるよう定点  A' を、  OB \cdot OB' = r^2 となるよう定点  B' をそれぞれとる。 K 円周上に任意の点  P をとる。点  P' OP \cdot OP' = r^2 をみたすので、方べきの定理の逆から  A, \ A',\ P,\ P' および  B, \ B',\ P,\ P' は同一円周上にある。そうすると  \angle OP'A' = \angle OAP かつ  \angle OP'B' = \angle OBP なので  \angle A'P'B' = 90^\circ である。したがって、 P' A'B' を直径の両端とする定円上にある。逆も同様に証明できる。
//


下の図で  PA PB は点  P から円  O への接線である。直角三角形  OPA は、直角三角形  OAQ と相似なので   OP: OA = OA: OQ から OP \cdot OQ = OA^2 で、 OA = r とすれば、点  P と 点  Q は中心  O について反形である。これを (半径  r の) 円  O についての反転ということがある。 AB を極線といい、点  P を極点と呼ぶこともあるが、円の方程式が  x^2 + y^2=r^2 P の座標を  (x_1, y_1) とすれば、極線の方程式は接線の方程式同様に  x_1x+y_1y = r^2 となることは、高校数学で学ぶべき内容のひとつである。実は  P 点と  Q 点の位置を入れ替えたときに  Q を通り  OQ に直交する直線も極線と呼ぶように定義を拡張すれば、極線の方程式はやはり  x_1x+y_1y = r^2 のままであり美しい結果である。
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 P, \ Q が円  C について反転の関係にあれば、 OP \cdot OQ = OR^2 なので、 \triangle ROP \triangle QOR は相似になる。したがって  \angle \alpha = \angle \beta である。
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 P, Q を通る任意の円  O' を考えると、下図で  OP \cdot OQ = OR^2 なので方べきの定理の逆により、直線  OR は円  O' の接線であり、したがって、直線  O'R は円  O の接線である。二つの接線は直交する。逆に円  O と直交する円  O' を与えたときに、円  O の中心を通り円  O' 2 点で交わる直線を引いたときその二つの交点は反転の関係になることもすぐにわかる。

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反形の場合、 OA \cdot OA' = r^2 =OB \cdot OB' なので  \triangle OAB \triangle OB'A' は相似である。したがって高さ  h h' の比もその相似比に等しい。

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円に内接する四角形  ABCD についてトレミーの定理が成立することを反転を使って示す。
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まず、

 A'B'\cdot C'D' + B'C' \cdot A'D' \\
=  A'B'\cdot C'D' + B'C' (A'C' + C'D')\\
= A'C'\cdot B'C' + (A'B' +B'C')C'D'\\
= A'C' (B'C' + C'D')\\
= A'C' \cdot B'D'

であることを確認しておく。先程の相似の関係から、
 \displaystyle{A'B' = \frac{h}{h_1}AB}
 \displaystyle{B'C' = \frac{h}{h_2}BC}
 \displaystyle{C'D' = \frac{h}{h_3}CD}
 \displaystyle{ A'D' = \frac{h}{h_4}AD}
 \displaystyle{ A'C' = \frac{h}{h_5}AC}
 \displaystyle{ B'D' = \frac{h}{h_6}BD}
 h_5, \ h_6 の図示は省略した。

ここで、 \triangle OEF \triangle OHG は相似である。なぜなら、四角形 BFOE と四角形  OHDG はそれぞれ同一円周上にあるので、
 \angle EFO = \angle ABO
= \angle ADO = \angle OGH
から \angle EFO = \angle OGH であり、同様にして
 \angle OEF = \angle OBC = \angle ODG = \angle OHG
から、 \angle OEF = \angle OHG だからである。そうすると、 h_1h_3= h_2h_4 がいえる。同様の証明を繰り返せば  h_1h_3 = h_2h_4 = h_5h_6 がいえる (下図参照)。

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以上から、

 \displaystyle{A'B'\cdot C'D' + B'C' \cdot A'D' \\
= \frac{h^2}{h_1h_3}AB\cdot CD + \frac{h^2}{h_2h_4}BC \cdot AD}
 \displaystyle{A'C' \cdot B'D' = \frac{h^2}{h_5h_6}AC\cdot BD}

であるので、トレミーの定理、

 AB\cdot CD + BC \cdot AD=AC\cdot BD

を示せた。//