ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (180)

以前やった *1 2013 年の京都大学の文理共通の入試問題だが、複比の練習問題としてもう一度やる。

【問】
平行四辺形  ABCD において、辺 AB 1:1 に内分する点を  E, 辺  BC 2:1 に内分する点を  F, 辺  CD 3:1 に内分する点を  G とする。線分  CE と線分  FG の交点を  P とし、線分  AP を延長した直線と辺  BC の交点を Q とするとき、比  AP:PQ を求めよ。

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【解】
 AB FG を延長して交点を  H とおく。 \triangle FBH \triangle FCG は相似だから、
 BH: CG = BF: FC である。これから  \displaystyle{BH = \frac{3}{2}AB}である。

以下のように複比  (ABEH) を求める。

 \displaystyle{(ABEH) =  \frac{AE}{BE}:\frac{AH}{BH} = 3:5}

 P を中心とした線束を考えると、 P(ABEH) = P(QBCF) から、

 \displaystyle{(QBCF) =  \frac{QC}{BC}:\frac{QF}{BF} = 3:5}

である。 x= QF とおいて、上式から、

 \displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}BC -x}{BC}:\frac{x}{\frac{2}{3}BC} = 3:5}

これを解くと、

 \displaystyle {x =QF= \frac{10}{57}BC}

となる。あとは、メネラウスの定理から、

 \displaystyle{\frac{AP}{PQ}\cdot\frac{QF}{FB}\cdot\frac{BH}{HA}=1}

なので、

 \displaystyle{\frac{AP}{PQ}=\frac{FB} {QF}\cdot\frac{HA}{BH}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{57}}\cdot\frac{5}{3}=\frac{19}{3}}

したがって、 AP:PQ= 19:3 である。//

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 \triangle ABQ にメネラウスの定理を使っても同じである。

 \displaystyle{QC\\
=CF -QF \\
= \frac{1}{3}BC -\frac{10}{57}BC \\
=\frac{3}{19}BC}

 AE: EB = 1:1 なので、メネラウスの定理を使えば、 AP:PQ= 19:3 となる。//