ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (180)

初等幾何 高校数学

以前やった *1 2013 年の京都大学の文理共通の入試問題だが, 複比の練習問題としてもう一度やる.

【問】
平行四辺形 ABCD において, 辺 AB を 1:1 に内分する点を E, 辺 BC を 2:1 に内分する点を F, 辺 CD を 3:1 に内分する点を G とする. 線分 CE と線分 FG の交点を P とし, 線分 AP を延長した直線と辺 BC の交点を Q とするとき, 比 AP:PQ を求めよ.

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【解】
AB と FG を延長して交点を H とおく. \triangle FBH と \triangle FCG は相似だから,
BH: CG = BF: FC である. これから \displaystyle{BH = \frac{3}{2}AB}である.

以下のように複比 (ABEH) を求める.

\displaystyle{(ABEH) = \frac{AE}{BE}:\frac{AH}{BH} = 3:5}

点 P を中心とした線束を考えると, P(ABEH) = P(QBCF) から,

\displaystyle{(QBCF) = \frac{QC}{BC}:\frac{QF}{BF} = 3:5}

である. x= QF とおいて, 上式から,

\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}BC -x}{BC}:\frac{x}{\frac{2}{3}BC} = 3:5}

これを解くと,

\displaystyle {x =QF= \frac{10}{57}BC}

となる. あとは, メネラウスの定理から,

\displaystyle{\frac{AP}{PQ}\cdot\frac{QF}{FB}\cdot\frac{BH}{HA}=1}

なので,

\displaystyle{\frac{AP}{PQ}=\frac{FB} {QF}\cdot\frac{HA}{BH}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{57}}\cdot\frac{5}{3}=\frac{19}{3}}

したがって, AP:PQ= 19:3 である.//

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※
\triangle ABQ にメネラウスの定理を使っても同じである.

\displaystyle{QC\\ =CF -QF \\ = \frac{1}{3}BC -\frac{10}{57}BC \\ =\frac{3}{19}BC}

で AE: EB = 1:1 なので, メネラウスの定理を使えば, AP:PQ= 19:3 となる.//

*1:陥没地帯 (12) - ノリの悪い日記