簡単な問題.
円 に内接する
の頂点
から辺
に垂線を下ろし, 垂線の足を
とする. また線分
を延長し再び円周と交わる点を
とする.
と
は相似だから,
したがって,
である.
※ ,
,
,
とすれば,
から,
である. (もっともこの式は, に正弦定理を適用すればすぐ出る.)
とすれば, ヘロンの公式より,
なので, の外接円の半径
は,
で与えられる.
//
※ 内接円の半径を とすると,
なので,
である. さらにヘロンの公式から,
なので,
となり,
である. つまり、基本対称式は以下となる.
任意の対称式は基本対称式で表わすことができるので, 三角形の辺 ,
,
に関する対称式は,
,
,
の多項式として表わすこともできる.//
円 に内接する
の
の二等分線が、辺
と交わる点を
, 円周と交わる点を
とする.
と
は相似だから,
したがって,
である.
※ さらに方べきの定理を使って,
とするのが, よく公式として出ている.
なお, の長さを求めるには,
,
,
として, から,
なので,
から,
である. を使い,
の二等分線の長さとして
と書けば,
同様にして,
だから,
で,
とすれば,
である.
//
※ の外角の二等分線の場合も同様に,
と
は相似だから,
が成り立つ.
さらに方べきの定理を使えば,
となる. この式を使って前の例のように の長さを求めると,
て, から,
なので,
から,
である.
//
今度は円 に内接する
は、
の二等辺三角形である. 辺
上に点
をとり,
の延長と円周と交わる点を
とする.
と
は相似だから,
したがって,
である.
※ 別解: だから、点
,
,
を通る円を考えると
はその円への接線である. したがって方べきの定理から
である.//
※ 前の例と同じように上の結果にさらに方べきの定理を使えば,
となる. なお, が
の中点である特別な場合には, この式はピタゴラスの定理を与えることがわかる.//
円 に内接する四角形
で,
とすると,
は二等辺三角形だから,
は
の二等分線だから,
したがって,
である.
円 と
を通るもう一つの円があって, 円
の点
における接線が, もう一つの円と交わる点を
,
とすると,
だから, は定値である.
四辺形 の外接円の直径を
とすると、
と
が相似であることにも注意して,
合比の理 *1より,
同様にして,
合比の理より,
したがって, と
が相似であることと方べきの定理も使って,
となる.
*1: ならば
であることを「合比の理」という.