ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (179)

f:id:noriharu-katakura:20210516183928p:plain


【問】  \triangle ABC の辺  BC の中点を  M とし、 AM を直径とする円と辺  AB, AC の交点をそれぞれ  D, E とする。 D, E においてこの円にひいた接線の交点を  P とすれば、 PM \perp BC である。

【証明】

下図のように  PM を延長し、極線  DE との交点を  G、円周とのもう一つの交点を  F とする。すでに前の記事で証明したように  (FMGP) は調和点列である。

 E(FMGP) = E(FDMP)

円周角と接弦定理を使って

 E(FDMP) = A(FDME)=A(FBMC)

である。したがって、線束  AF, AB, AM, AC は調和線束である。ところが  M は線分  BC の中点であることから  AF \parallel BC であることがいえる。 AM は円の直径であるので  \angle AFM = 90^\circ である。したがって、 PM \perp BC である。//

f:id:noriharu-katakura:20210516185435j:plain