調和点列はいろいろなところに現れる.
台形 の対角線の交点を
とし, 辺
と
の延長の交点を
とする.
と
,
の交点をそれぞれ
,
とする. そうすると, 点列
,
,
,
は調和点列である.
なぜなら, から,
から,
から,
から,
故に,
したがって点列 ,
,
,
は調和点列である.//
次の例. の角
の二等分線と辺
の交点を
とし, 線分
またはその延長線上に点
,
から下ろした垂線の足をそれぞれ
,
とする. このとき, 点列
,
,
,
は調和点列である.
から,
は
の二等分線だから,
から,
したがって,
なので, 点列 ,
,
,
は調和点列である.//
の垂心
は, 垂足三角形
の内心であるから *1,
は、
の内角の二等分線であり (円に内接する四辺形を追っていけば証明できる),
と
は直角なので,
は
の外角の二等分線である.
を考えれば,
であり, また,
であるから,
となり, 点列
,
,
,
は調和点列である.
*1: からみると
,
,
は傍心である.