ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (181)

調和点列はいろいろなところに現れる。

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台形  ABCD の対角線の交点を  E とし、辺  DA CB の延長の交点を  F とする。 FE AB,  DC の交点をそれぞれ  P, Q とする。そうすると、点列  P, E, Q, F は調和点列である。

なぜなら、 \triangle FQB \sim \triangle FPC から、

 PF: FQ =FC:FB

 \triangle FDC \sim \triangle FAB から、

 FC:FB=DC:AB

 \triangle EDC \sim \triangle EBA から、

 DC:AB=EC:EA

 \triangle ECP \sim \triangle EAQ から、

 EC:EA=PE:EQ

故に、

 PF:FQ=PE:EQ

したがって点列  P, E, Q, F は調和点列である。//

次の例。 \triangle ABC の角  A の二等分線と辺  BC の交点を  D とし、線分  AD またはその延長線上に点  B, C から下ろした垂線の足をそれぞれ  P, Q とする。このとき、点列  P, D, Q, A は調和点列である。

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 \triangle APB \sim \triangle AQC から、

 PA:QA=AB:AC

 AD \angle A の二等分線だから、

 AB:AC=BD:DC

 \triangle DPB \sim \triangle DQC から、

 BD:DC=PD:DQ

したがって、

 PA:QA=PD:DQ

なので、点列  P, D, Q, A は調和点列である。//

 \triangle ABC の垂心  H は、垂足三角形  \triangle DEF の内心であるから *1 BE は、 \angle DEF の内角の二等分線であり (円に内接する四辺形を追っていけば証明できる)、 AE BE は直角なので、 AE \angle DEF の外角の二等分線である。 \triangle EGD を考えれば、 DH: HG = ED:EG であり、また、 DA: AG = ED:EG であるから、 DH: HG = DA:AG となり、点列  D, H, G, A は調和点列である。

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*1: \triangle DEF からみると  A, B, C は傍心である。