ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (191)

初等幾何

$1$ つの三角形の不等関係というのは,

● 二等辺三角形の底角は等しい.
● 三角形の $1$ つの頂点の外角は, 残りの $2$ つの頂点の内角の和に等しい.

という性質から演繹されるものである.

$1)$ $\triangle ABC$ において $AB \gt AC$ であることと $\angle C \gt \angle B$ は同値である.
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まず, $AB \gt AC$ を仮定すると, $AD = AC$ となるよう, 線分 $AB$ 上に $D$ がとれる.

$\angle ADC = \angle B + \angle DCB$

から, $\angle ADC \gt \angle B$ である. これと, $\angle ACD = \angle ADC$ と $\angle C \gt \angle ACD$ から, $\angle C \gt \angle B$ である. すなわち, $AB \gt AC$ ならば $\angle C \gt \angle B$ である.

次に, $\angle C \gt \angle B$ を仮定する. $AB \gt AC$ でないとすると, $AB = AC$ または $AB \lt AC$ である. $AB = AC$ とすると $\triangle ABC$ は二等辺三角形であり, $\angle C = \angle B$ となって矛盾する. $AB \lt AC$ とすると, 前半に証明したことから $\angle C \lt \angle B$ となって矛盾する. $AB \gt AC$ , $AB = AC$ , $AB \lt AC$ のいずれかひとつは成立するので, $\angle C \gt \angle B$ ならば $AB \gt AC$ である.//

※以上から, 次がいえる.
• 直角三角形の斜辺は他の $2$ 辺のどちらよりも大きい.
・鈍角三角形の鈍角に対する辺は他の $2$ 辺のどちらよりも大きい.
・ $\triangle ABC$ において $AB \leq AC$ ならば, $\angle C \leq B$ であるので, $2C \leq B + C \leq 180^\circ$ となり, $\angle C$ は鋭角である.//

今度は $AB$ の延長上に $AD = AC$ となるよう $D$ をとる.

$2)$ 三角形の $2$ 辺の長さの和は他の $1$ 辺の長さよりも大きい.

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$\angle BDC = \angle ACD \lt \angle BCD$

したがって $\triangle BCD$ を考えると, 前の結果から,

$BD = BA + AD = BA + AC \gt BC$

である.//

$3)$ 三角形の $2$ 辺の長さの差は他の $1$ 辺の長さよりも小さい.

$2)$ から $a \lt b + c$ かつ $b \lt a + c$ である. つまり, $a - b \lt c$ かつ $b -a \lt c$ であり, $\max\{a-b, b-a\} \lt c$ から,

$|a-b| \lt c$

である.//

$\triangle ABC$ 内の任意の一点を $P$ とすれば, $PB + PC \lt AB + AC$ である.

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$BP$ の延長と $AC$ の交点を $D$ とする.

$PB + PD \lt AB + AD \\ PC \lt PD + DC$

これから,

$PB + PC + PD \lt AB + AD + DC +PD$

したがって,

$PB + PC \lt AB + AC$

となる.//

三角形の三中線の和は, 三角形の周よりも小さく, 周の $\displaystyle{ \frac{3}{4}}$ よりも大きい.

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$AD$ の延長に $AD = AH$ となるように, $H$ をとる.

$AH = 2AD \lt AB + BH$

$\triangle ADC \equiv \triangle HDB$

なので, $BH = AC$ であり,

$2AD \lt AB + AC$

となる. 同様にして,

$2BE \lt AB + BC\\ 2CF \lt BC + AC$

となる. したがって,

$AD + BE + CF \lt AB + BC + CA$

である. 次に,

$AB \lt AG + BG\\ BC \lt BG + CG\\ CA \lt CG + AG$

であるから,

$AB+BC+CA \lt 2(AG + BG+CG)$

となる. ところが, 重心の性質より,

$\displaystyle{AG = \frac{2}{3}AD \\ BG = \frac{2}{3}BE \\ CG = \frac{2}{3}CF}$

だから,

$\displaystyle{\frac{3}{4}(AB+BC+CA) \lt AD + BE + CF}$

となる.//

三角形の一角の二等分線は, この角の頂点から対辺に引いた垂線と中線の間にある.

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$AB \gt AC$ とする. ひとつ前の命題の証明とその図で, $\triangle ADC \equiv \triangle HDB$ から, $BH = AC$ だから, $AB \gt AC$ の場合は, $BH \lt AB$ となり, したがって,

$\angle BAD \lt \angle AHB$

である. 三角形の合同から,

$\angle AHB = \angle DAC$

なので,

$\angle BAD \lt \angle DAC$

である. これから, 中線は, 角 $A$ の二等分線と $AB$ が挟む角 $\angle BAE$ の間にある.

次に, $AB \gt AC$ なので,

$\angle B \lt \angle C$

であることから,

$\angle BAF \gt \angle CAF$

となり, 垂線は, 角 $A$ の二等分線と $AC$ が挟む角 $\angle CAE$ の間にある. 以上から, $AE$ は $AD$ と $AF$ の間にあることがいえた.

$AB \lt AC$ の場合も同様に証明できる. また, $AB = AC$ の場合には, $AD$ , $AE$ , $AF$ は一致する.//

(この稿つづく)