ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (191)

1 つの三角形の不等関係というのは,

● 二等辺三角形の底角は等しい.
● 三角形の 1 つの頂点の外角は, 残りの 2 つの頂点の内角の和に等しい.

という性質から演繹されるものである.

1)  \triangle ABC において  AB \gt AC であることと  \angle C \gt \angle B は同値である.
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まず,  AB \gt AC を仮定すると,  AD = AC となるよう, 線分  AB 上に  D がとれる.

 \angle ADC = \angle B + \angle DCB

から,  \angle ADC \gt \angle B である. これと,  \angle ACD = \angle ADC \angle C \gt \angle ACD から,  \angle C \gt \angle B である. すなわち,  AB \gt AC ならば  \angle C \gt \angle B である.

次に,  \angle C \gt \angle B を仮定する.  AB \gt AC でないとすると,  AB = AC または  AB \lt AC である. AB = AC とすると  \triangle ABC は二等辺三角形であり,  \angle C = \angle B となって矛盾する.  AB \lt AC とすると, 前半に証明したことから  \angle C \lt \angle B となって矛盾する.  AB \gt AC,  AB = AC,  AB \lt AC のいずれかひとつは成立するので,  \angle C \gt \angle B ならば  AB \gt AC である.//

※以上から, 次がいえる.
• 直角三角形の斜辺は他の 2 辺のどちらよりも大きい.
・鈍角三角形の鈍角に対する辺は他の 2 辺のどちらよりも大きい.
 \triangle ABC において  AB \leq AC ならば,  \angle C \leq B であるので,  2C \leq B + C \leq 180^\circ となり,  \angle C は鋭角である.//

今度は  AB の延長上に AD = ACとなるよう  D をとる.

2) 三角形の 2 辺の長さの和は他の 1 辺の長さよりも大きい.

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 \angle BDC = \angle ACD \lt  \angle BCD

したがって  \triangle BCD を考えると, 前の結果から,

 BD = BA + AD = BA + AC \gt BC

である.//

3) 三角形の 2 辺の長さの差は他の 1 辺の長さよりも小さい.

2) から  a \lt b + c かつ  b \lt a + c である. つまり,  a - b \lt c かつ  b -a \lt c であり,   \max\{a-b, b-a\} \lt c から,

|a-b| \lt c

である.//

 \triangle ABC 内の任意の一点を  P とすれば,  PB + PC \lt AB + AC である.

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 BP の延長と  AC の交点を  D とする.

 PB + PD \lt AB + AD \\
PC \lt  PD + DC

これから,

 PB + PC + PD \lt AB + AD + DC +PD

したがって,

 PB + PC \lt AB + AC

となる.//

三角形の三中線の和は, 三角形の周よりも小さく, 周の \displaystyle{ \frac{3}{4}} よりも大きい.

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 AD の延長に  AD = AH となるように,  H をとる.

 AH = 2AD \lt AB + BH

 \triangle ADC \equiv \triangle HDB

なので,  BH = AC であり,

 2AD \lt AB + AC

となる. 同様にして,

 2BE \lt AB + BC\\
2CF \lt BC + AC

となる. したがって,

 AD + BE + CF \lt AB + BC + CA

である. 次に,

 AB \lt AG + BG\\
BC \lt BG + CG\\
CA \lt CG + AG

であるから,

 AB+BC+CA \lt 2(AG + BG+CG)

となる. ところが, 重心の性質より,

 \displaystyle{AG = \frac{2}{3}AD \\
BG = \frac{2}{3}BE \\
CG = \frac{2}{3}CF}

だから,

 \displaystyle{\frac{3}{4}(AB+BC+CA) \lt AD + BE + CF}

となる.//

三角形の一角の二等分線は, この角の頂点から対辺に引いた垂線と中線の間にある.

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 AB \gt AC とする. ひとつ前の命題の証明とその図で,  \triangle ADC \equiv \triangle HDB から,  BH = AC だから,  AB \gt AC の場合は,  BH \lt AB となり, したがって,

 \angle BAD \lt \angle AHB

である. 三角形の合同から,

  \angle AHB = \angle DAC

なので,

 \angle BAD \lt \angle DAC

である. これから, 中線は, 角  A の二等分線と  AB が挟む角  \angle BAE の間にある.

次に,  AB \gt AC なので,

 \angle B  \lt \angle C

であることから,

 \angle BAF  \gt \angle CAF

となり, 垂線は, 角  A の二等分線と  AC が挟む角  \angle CAE の間にある. 以上から,  AE AD AF の間にあることがいえた.

 AB \lt AC の場合も同様に証明できる. また,  AB = AC の場合には,  AD, AE, AF は一致する.//


(この稿つづく)