陥没地帯 (193) - ノリの悪い日記

正方形 $ABCD$ の辺 $CD$ 上の点を $X$ とし, 直線 $AX$ が直線 $BC$ と交わる点を $Y$ とすれば, $AX + AY \gt 2AC$ である.

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線分 $XY$ の中点を $M$ とすると,

$\displaystyle{\begin{align}AX + AY &= (AM - MX) + (AM + MY) \\ &= 2AM \end{align}}$

であるから,

$AM \gt AC$

であることを示せばよい. そのために, $\triangle ACM$ で $\angle ACM$ が鈍角であることを示せばよい.

$M$ は直角三角形 $XCY$ の斜辺の中点なので, $\triangle MXC$ は二等辺三角形であり, したがって,

$\angle MCX = \angle MXC$

である. $\angle MXC$ は $\triangle XAC$ の頂点 $X$ における外角なので,

$\angle MXC =\angle MCX \gt 45^\circ$

である. したがって, $\angle ACM$ は鈍角である.//

$BC$ を最小辺とする $\triangle ABC$ の内部に任意の点 $P$ をとれば,

$PA + PB + PC \lt AB + AC$

である.

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$P$ を通り, $AC$ に平行な直線と $AB$ との交点を $D$ とする. また, $P$ を通り, $AB$ に平行な直線と $AC$ との交点を $E$ とする.

$ADPE$ は平行四辺形で, したがって

$PA \lt AD + AE$

である. $PB \lt DB$ であることを示すために, $\triangle PBD$ について $\angle BDP \lt \angle DPB$ であることを以下に示す.

$BC$ は仮定から $\triangle ABC$ の最小辺なので, $\angle A$ は $\angle B$ よりも小さく, $\angle C$ よりも小さい. ところで, $\angle BDP = \angle A$ である. また $\angle DBP$ は $\angle B$ よりも小さい. したがって $\angle DPB \gt \angle C$ であり, これから, $\angle BDP \lt \angle DPB$ であることがいえ, $PB \lt DB$ がいえた.

同様の議論で, $PC \lt EC$ もいえる.

以上,

$PA \lt AD + AE$
$PB \lt DB$
$PC \lt EC$

がいえるので,

$\displaystyle{PA + PB + PC \\ \lt (AD+ DB)+ (AE + EC)\\ = AB + AC}$

である.//

※ 別解.

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$P$ を通り, $BC$ に平行な線を引き, その平行線と $AB$ の交点を $D$ , $AC$ との交点を $E$ とする.

$AE \geq AD$ と仮定する.
そうすると, $\triangle ADE$ で, $\angle ADE \geq \angle AED$ である. $\angle APE \gt ADE$ だから, $\angle APE \gt \angle AED$ がいえる. したがって, $PA \lt AE$ となる.

$BC$ は $\triangle ABC$ の最小辺だから, $\angle A$ は, $\triangle ADE$ においても最小角であり, したがって, $DE$ は, $\triangle ADE$ の最小辺である. したがって, $DE \lt AD$ である. 以上から,

$PA + DE \lt AD + AE$

である. 以上の議論は, $AD \geq AE$ と仮定しても同様に成立するので, $AD$ , $AE$ の辺の大小関係に対する仮定は落とすことができる.

さらに,

$PB \lt DB + DP$
$PC \lt EC + PE$

が成立するので,

$PA + DE + PB + PC \\ \lt AD + AE + DB + DP + EC + PE\\ = AB + AC + DE$

となって,

$PA + PB + PC \lt AB + AC$

が成立する.//

$2$ つの三角形 $ABC$ と $A'B'C'$ が $AB = A'B'$ , $AC = A'C'$ のとき, $\angle A \gt \angle A'$ ならば, $BC \gt B'C'$ である.

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$\triangle A'B'C'$ を平行移動して上の図のように配置する. $\angle CAC'$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ とする. すると三角形の合同から $CD = C'D$ である. 三角不等式により,

$\displaystyle{\begin{align} B'C' &\lt BD + C'D \\ &= BD + CD \\&= BC\end{align}}$

である.//
※ 記号を入れ替えば, $\angle A' \gt \angle A$ ならば, $B'C' \gt BC$ であることもいえる.//
※ 転換法による証明により,「 $2$ つの三角形 $ABC$ と $A'B'C'$ が $AB = A'B'$ , $AC = A'C'$ のとき, $BC \gt B'C'$ ならば, $\angle A \gt \angle A'$ である」「 $B'C' \gt BC$ ならば, $\angle A' \gt \angle A$ である」もすぐに証明できる.//

三角形の $2$ 辺が等しくないとき, その $2$ 辺の大きい方の辺に引いた中線, 垂線, 二等分線は, それぞれ小さい方の辺に引いた中線, 垂線, 二等分線よりも短い.

※ 以下, $AB \gt AC$ とする.
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中線の場合:
$\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ において, $AD$ は共通, $BD = CD$ である. 仮定より $AB \gt AC$ であるから, $\angle ADB \gt \angle ADC$ であることがいえる. 次に, $\triangle GBD$ と $\triangle GCD$ において, $GD$ は共通, $BD = CD$ である. $\angle ADB \gt \angle ADC$ であるから, $GB \gt GC$ であることがいえる. $G$ は重心なので,

$GB:BE =GC:CF=2:3$

であるから, $BE \gt CF$ である.
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垂線の場合:

三角形の面積一定から,

$AB \cdot CE= AC \cdot BD$

で, 仮定から $AB \gt AC$ だから $CE \lt BD$ である.

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二等分線の場合:

$BE$ , $CF$ を角の二等分線とする.

仮定から $AB \gt AC$ だから, $\angle C \gt \angle B$ である. したがって $AF$ 上に $D$ をとって, $\angle DCF = \angle EBA$ とできる. $\triangle DBC$ において $\angle DBC \lt \angle DCB$ だから, $DB \gt CD$ である. したがって $DB$ 上に $G$ をとって $BG = CD$ とできる. $G$ を通り, $DC$ に平行な線を引いて $BE$ との交点を $H$ とする. そうすると $\triangle BGH \equiv \triangle CDF$ だから, $BH =CF$ である. したがって, $CF \lt BE$ である.//