正方形 の辺
上の点を
とし, 直線
が直線
と交わる点を
とすれば,
である.
線分 の中点を
とすると,
であるから,
であることを示せばよい. そのために, で
が鈍角であることを示せばよい.
は直角三角形
の斜辺の中点なので,
は二等辺三角形 であり, したがって,
である. は
の頂点
における外角なので,
である. したがって, は鈍角である.//
を最小辺とする
の内部に任意の点
をとれば,
である.
を通り,
に平行な直線と
との交点を
とする. また,
を通り,
に平行な直線と
との交点を
とする.
は平行四辺形で, したがって
である. であることを示すために,
について
であることを以下に示す.
は仮定から
の最小辺なので,
は
よりも小さく,
よりも小さい. ところで,
である. また
は
よりも小さい. したがって
であり, これから,
であることがいえ,
がいえた.
同様の議論で, もいえる.
以上,
がいえるので,
である.//
※ 別解.
を通り,
に平行な線を引き, その平行線と
の交点を
,
との交点を
とする.
と仮定する.
そうすると, で,
である.
だから,
がいえる. したがって,
となる.
は
の最小辺だから,
は,
においても最小角であり, したがって,
は,
の最小辺である. したがって,
である. 以上から,
である. 以上の議論は, と仮定しても同様に成立するので,
,
の辺の大小関係に対する仮定は落とすことができる.
さらに,
が成立するので,
となって,
が成立する.//
つの三角形
と
が
,
のとき,
ならば,
である.
を平行移動して上の図のように配置する.
の二等分線と
の交点を
とする. すると三角形の合同から
である. 三角不等式により,
である.//
※ 記号を入れ替えば, ならば,
であることもいえる.//
※ 転換法による証明により,「 つの三角形
と
が
,
のとき,
ならば,
である」「
ならば,
である」もすぐに証明できる.//
三角形の 辺が等しくないとき, その
辺の大きい方の辺に引いた中線, 垂線, 二等分線は, それぞれ小さい方の辺に引いた中線, 垂線, 二等分線よりも短い.
※ 以下, とする.
中線の場合:
と
において,
は共通,
である. 仮定より
であるから,
であることがいえる. 次に,
と
において,
は共通,
である.
であるから,
であることがいえる.
は重心なので,
であるから, である.
垂線の場合:
三角形の面積一定から,
で, 仮定から だから
である.
二等分線の場合:
,
を角の二等分線とする.
仮定から だから,
である. したがって
上に
をとって,
とできる.
において
だから,
である. したがって
上に
をとって
とできる.
を通り,
に平行な線を引いて
との交点を
とする. そうすると
だから,
である. したがって,
である.//