アプリで図が簡単に書けるようになったので, 幾何の問題は面白いなあ.
【問】一辺の長さ の正二十面体を考える.
この正二十面体に外接する球の半径
を求めよ.
この正二十面体の体積を求めよ.
【解】
正二十面体の中心 を含む平面で左右対称に切ると上図のようになり, その断面の平面の一部を取り出すと下図のようになる.
とおくと,
,
,
なので,
整理すると,
で, これと から,
である. 外接球の半径 は,
の長さに相当するので,
したがって,
である.
三角錐
の体積を
倍すればよい. 底面を
と考えるとその面積は,
であるから, 三角錐 の体積
は,
であり, 正二十面体の体積は,
となる.//