ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (182)

アプリで図が簡単に書けるようになったので, 幾何の問題は面白いなあ.

【問】一辺の長さ 1 の正二十面体を考える.
(1) この正二十面体に外接する球の半径  r を求めよ.
(2) この正二十面体の体積を求めよ.

【解】

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正二十面体の中心  O を含む平面で左右対称に切ると上図のようになり, その断面の平面の一部を取り出すと下図のようになる.

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(1)  OP = OQ = x\ (\gt 0) とおくと,  \angle POQ = 90^\circ,  \displaystyle{AQ = \frac{1}{2}},  \displaystyle{AP = \frac{\sqrt{3}}{2}} なので,

 \displaystyle{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+ x^2= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}

整理すると,

 4x^2 -2x^2-1 = 0

で, これと  x \gt 0 から,

 \displaystyle{x = \frac {1 + \sqrt{5}}{4}}

である. 外接球の半径  r は,  OA の長さに相当するので,

 \displaystyle{r^2 \\
= AQ^2 + OQ^2 \\
= \left(\frac{1}{2}\right)^2+ \left(\frac {1 + \sqrt{5}}{4}\right)^2\\
=\frac{5+\sqrt{5}}{8}}

したがって,

 \displaystyle{r = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}}

である.

(2) 三角錐  OABC の体積を  20 倍すればよい. 底面を  OBC と考えるとその面積は,

 \displaystyle{\triangle OBC = \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot  \frac {1 + \sqrt{5}}{4}}

であるから, 三角錐  OABC の体積  V は,

 \displaystyle{V =\frac{1}{3}\cdot  \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot  \left(\frac {1 + \sqrt{5}}{4}\right)^2} = \frac{3+\sqrt{5}}{48}

であり, 正二十面体の体積は,

 \displaystyle{20\cdot \frac{3+\sqrt{5}}{48}=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}}

となる.//