ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (182)

立体幾何初歩 初等幾何

アプリで図が簡単に書けるようになったので, 幾何の問題は面白いなあ.

【問】一辺の長さ 1 の正二十面体を考える.
(1) この正二十面体に外接する球の半径 r を求めよ.
(2) この正二十面体の体積を求めよ.

【解】

正二十面体の中心 O を含む平面で左右対称に切ると上図のようになり, その断面の平面の一部を取り出すと下図のようになる.

(1) OP = OQ = x\ (\gt 0) とおくと, \angle POQ = 90^\circ, \displaystyle{AQ = \frac{1}{2}}, \displaystyle{AP = \frac{\sqrt{3}}{2}} なので,

\displaystyle{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+ x^2= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}

整理すると,

4x^2 -2x^2-1 = 0

で, これと x \gt 0 から,

\displaystyle{x = \frac {1 + \sqrt{5}}{4}}

である. 外接球の半径 r は, OA の長さに相当するので,

\displaystyle{r^2 \\ = AQ^2 + OQ^2 \\ = \left(\frac{1}{2}\right)^2+ \left(\frac {1 + \sqrt{5}}{4}\right)^2\\ =\frac{5+\sqrt{5}}{8}}

したがって,

\displaystyle{r = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}}

である.

(2) 三角錐 OABC の体積を 20 倍すればよい. 底面を OBC と考えるとその面積は,

\displaystyle{\triangle OBC = \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \frac {1 + \sqrt{5}}{4}}

であるから, 三角錐 OABC の体積 V は,

\displaystyle{V =\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \left(\frac {1 + \sqrt{5}}{4}\right)^2} = \frac{3+\sqrt{5}}{48}

であり, 正二十面体の体積は,

\displaystyle{20\cdot \frac{3+\sqrt{5}}{48}=\frac{5(3+\sqrt{5})}{12}}

となる.//