ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (185)

ニュートンの定理 (下記) の証明。

四辺形  ABCD の辺  AB CD の延長線の交点を  E とし、辺  BC AD の延長線の交点を  F とする。辺  AC の中点  L 、辺  BD の中点  M,  EF の中点  N は同一直線上にある。

※ 直線  MN を四角形  ABCD の「ニュートン線」という。

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メネラウスの定理より、

\displaystyle{\frac{EA}{AB}\cdot\frac{BF}{FC} \cdot\frac{CD}{DE} =1  }

 BCの中点を  P,  CE の中点を  Q,  BE の中点を  R とする。中点連結定理から、 P, L, Q 及び  R, Q, N及び  P, M, R は同一直線上にあり、また、

 EA = 2LQ
 AB = 2LP
 BF= 2RN
 FC = 2NQ
 CD = 2PM
 DE = 2MR

だから、

\displaystyle{\frac{LQ}{LP}\cdot\frac{RN}{NQ} \cdot\frac{PM}{MR} =1  }

つまり、

\displaystyle{\frac{PL}{LQ}\cdot\frac{QN}{NR} \cdot\frac{RM}{MP} =1  }

となって、メネラウスの定理の逆から、

 L, M, N は同一直線上にある。//