ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (185)

初等幾何

ニュートンの定理 (下記) の証明.

四辺形 ABCD の辺 AB と CD の延長線の交点を E とし, 辺 BC と AD の延長線の交点を F とする. 辺 AC の中点 L , 辺 BD の中点 M, EF の中点 N は同一直線上にある.

※ 直線 MN を四角形 ABCD の「ニュートン線」という.

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メネラウスの定理より,

\displaystyle{\frac{EA}{AB}\cdot\frac{BF}{FC} \cdot\frac{CD}{DE} =1 }

BCの中点を P, CE の中点を Q, BE の中点を R とする. 中点連結定理から, P, L, Q 及び R, Q, N 及び P, M, R は同一直線上にあり, また,

EA = 2LQ
AB = 2LP
BF= 2RN
FC = 2NQ
CD = 2PM
DE = 2MR

だから,

\displaystyle{\frac{LQ}{LP}\cdot\frac{RN}{NQ} \cdot\frac{PM}{MR} =1 }

つまり,

\displaystyle{\frac{PL}{LQ}\cdot\frac{QN}{NR} \cdot\frac{RM}{MP} =1 }

となって, メネラウスの定理の逆から,

L, M, N は同一直線上にある.//