ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (188)

円周角に関連して次の二つの性質はよく知られている。

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i) 円の二弦  AB CD が 円の内部の点  P において交わるときは、 \angle APC は、 \displaystyle {\stackrel {\huge \frown} {AC}+\stackrel{\huge\frown}{BD}} に等しい弧の上に立つ円周角に等しい。

【証明】
 \displaystyle {\stackrel {\huge \frown} {CE} = \stackrel {\huge \frown} {BD}} となるように、円周上に点  E をとれば、 CD \parallel EB である。したがって、

 \angle APC = \angle ABE

となる。//

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ii) 円の二弦  AB CD が 円の外部の点  P において交わるときは、 \angle APC は、 \displaystyle {\stackrel {\huge \frown} {AC}-\stackrel{\huge\frown}{BD}} に等しい弧の上に立つ円周角に等しい。

【証明】
i) と同様に証明できる。//

 \triangle ABC の外接円の弧  \displaystyle {\stackrel {\huge \frown} {AB},\ \stackrel{\huge\frown}{AC}} の中点を  E,\ F とする。  \angle A の二等分線  AD と直線  EF は直交する。

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 \displaystyle {\stackrel {\huge \frown} {DE}+\ \stackrel{\huge\frown}{AF}} は円周の長さの半分である。//

三角形  ABC の内心を  I とし、 AI の延長が外接円の周と交わる点を  D とすれば、 DB = DC = DI である。

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 BI の延長が外接円の周と交わる点を  E とする。
 \displaystyle {\stackrel {\huge \frown} {AE}=\ \stackrel{\huge\frown}{CE}}
 \displaystyle {\stackrel {\huge \frown} {BD}=\ \stackrel{\huge\frown}{CD}}
だから、

 DB =DC
 \angle BID = \angle DBE

である。したがって

 DB = DC = DI

である。//

※ さらに、傍心のひとつを  P とすれば、 \angle IBP = \angle ICP = 90^\circ から、 B, I, C, P は同一円周上にあるので、  DB = DC = DI =DP であることがわかる。

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実際、 \angle DBP = \angle DPB であることを示す。

 \displaystyle{\begin{align}\angle DBP &= \angle CBP - \angle CBD \\ &= \angle CIP - \angle CAD \\ &= \angle ACI \\ &= \angle BCI  \\ &= \angle BPI \\ &= \angle DPB \end{align}}

したがって、 D は、 B, I, C, P を通る円の中心である。
//

※ 直前の結果を使って  N は傍心  P, Q を結ぶ線分の中点であることを示す。

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 \triangle ABC の外接円に内接する四辺形  AMNC を考えて、

 \angle MNP =  \angle MAC

四辺形  AICQ は同一円周上にあるので、

 \angle MAC= \angle IQC

したがって、

 \angle MNP =  \angle IQC

となり、

 MN \parallel IQ

である。直前の結果から  PM = MI なので、 N は、 PQ の中点である。//

 \triangle ABC の内心を  I とする。また  \triangle ABC の外接円の半径を  R, 内接円の半径を  r とする。 AI の延長が、外接円の周と交わる点を  D とすれば、 AI \cdot ID= 2Rr である。


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 I から  AB に垂線を下ろし、その足を  F とすれば  IF = r である。 D から外接円の中心  O を通る直線を引き、外接円の円周と交わる点を  E とする。 DE = 2R である。 \triangle AFI \triangle EBD は相似だから、

 AI: IF = ED: DB

つまり

 AI: r = 2R: DB

前問から、 DB = ID である。したがって、

 AI: r = 2R: ID

よって、

 AI \cdot  ID = 2Rr

である。//

※ 傍心についても傍心円の半径と外接円の半径を使って同様の命題が成立つが、ほぼ同じ証明であり省略する。//