ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (195)

2018 年度の神奈川県公立高校入試問題をやってみる。正解率は 2.8 % だそうである。別解 3 はなかなか気づかなかった。

【問】
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図のように長方形  ABCD があり、辺  AB の中点を  E とする。また辺  BC 上に点  F BF: FC=2:1 となるようにとり、辺  AD 上に  G 線分  DE と線分  FG が垂直に交わるようにとる。さらに線分  DE と線分  FG の交点を  H とする。 AB = 2cm, \ BC = 3cm のとき、線分  GH の長さを求めなさい。

【解】

 G から  BC に垂線を下ろし、垂線の足を  I とする。四辺形 EBFH は円に内接する。したがって、 \angle AED = \angle IFG であり、 \triangle DAE \triangle GIF は相似であることがいえる (円に内接することに気がつかなくてもこの相似は証明できる)。

 IG : IF = AD:AE から  \displaystyle{IF = \frac{2}{3}} であり、さらに  \displaystyle{GD = \frac{5}{3}} であることもすぐにわかる。 \triangle DHG \triangle DAE は相似なので、

 GH: GD = EA: DE から、

 \displaystyle {GH: \frac{5}{3} = 1: \sqrt{10}}

 \displaystyle{ GH = \frac{5}{3\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{6} \ [cm]}

である。//

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※ 別解
 B を原点にとり、 \vec{BC} x 軸、 \vec{BA} y 軸とする。直線  ED の傾きは  \displaystyle{\frac{1}{3}} だから、直交する直線  GH の傾きは  -3 である。 G(a, 2) とおくと、

 \displaystyle{\frac{-2}{2-a} = -3}

したがって  \displaystyle{a= \frac{4}{3}} である。
これから、  \displaystyle{GD = \frac{5}{3}} である。後は同じ。//

※ 別解 2
 \triangle EBF \equiv \triangle FCD なので、 EF = FD から  \triangle FDE は二等辺三角形である。したがって  HE =HD である。 ED = \sqrt{10} であるから、

 \displaystyle{GH:\frac{\sqrt{10}}{2} = 1:3 }

したがって、

 \displaystyle{GH = \frac{\sqrt{10}}{6}}

である。//

※ 別解 3

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上の図のように  A, E, F, D H を中心とする半径 \displaystyle{\frac{\sqrt{10}}{2}} の円周上にあることがわかる。 FG を延長して、その円周との交点を  J とする。 JEFD は一辺の長さが  \sqrt{5} の正方形である。

 \triangle AEK \triangle BFE は相似であり、これから、

 \displaystyle{EK = KJ = \frac{\sqrt{5}}{2}}

となり、 E は、 KJ の中点である。また、 H は、 ED の中点なので、 G は、 \triangle JED の重心である。したがって、 G は、円の半径  JH 2:1 の比に内分するので、

 \displaystyle{GH = \frac{\sqrt{10}}{6}}

である。//

※ 下のような図だと  G \triangle JED の重心であることはすぐにわかる。 J, G, H, F は調和点列だなあ。

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