ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (195)

2018 年度の神奈川県公立高校入試問題をやってみる. 正解率は  2.8 \% だそうである. 別解 3 はなかなか気づかなかった.

【問】
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図のように長方形  ABCD があり, 辺  AB の中点を  E とする. また辺  BC 上に点  F BF: FC=2:1 となるようにとり, 辺  AD 上に  G を線分  DE と線分  FG が垂直に交わるようにとる. さらに線分  DE と線分  FG の交点を  H とする.  AB = 2 \mathrm{cm},  BC = 3 \mathrm{cm} のとき, 線分  GH の長さを求めなさい.

【解】

 G から  BC に垂線を下ろし, 垂線の足を  I とする. 四辺形 EBFH は円に内接する. したがって,  \angle AED = \angle IFG であり,  \triangle DAE \triangle GIF は相似であることがいえる (円に内接することに気がつかなくてもこの相似は証明できる).

 IG : IF = AD:AE から  IF = 2/3 であり, さらに  GD = 5/3 であることもすぐにわかる.  \triangle DHG \triangle DAE は相似なので,

 GH: GD = EA: DE から,

 \displaystyle {GH: \frac{5}{3} = 1: \sqrt{10}}

 \displaystyle{ GH = \frac{5}{3\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{6} \ [cm]}

である.//

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※ 別解
 B を原点にとり,  \vec{BC} x 軸,  \vec{BA} y 軸とする. 直線  ED の傾きは  1/3 だから, 直交する直線  GH の傾きは  -3 である.  G(a, 2) とおくと,

 \displaystyle{\frac{-2}{2-a} = -3}

したがって  a= 4/3 である.
これから、  GD = 5/3 である. 後は同じ.//

※ 別解 2
 \triangle EBF \equiv \triangle FCD なので,  EF = FD から  \triangle FDE は二等辺三角形である. したがって  HE =HD である.  ED = \sqrt{10} であるから,

 \displaystyle{GH:\frac{\sqrt{10}}{2} = 1:3 }

したがって,

 \displaystyle{GH = \frac{\sqrt{10}}{6}}

である.//

※ 別解 3

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上の図のように  A, E, F, D H を中心とする半径 \displaystyle{\frac{\sqrt{10}}{2}} の円周上にあることがわかる.  FG を延長して, その円周との交点を  J とする.  JEFD は一辺の長さが  \sqrt{5} の正方形である.

 \triangle AEK \triangle BFE は相似であり, これから,

 \displaystyle{EK = KJ = \frac{\sqrt{5}}{2}}

となり,  E は,  KJ の中点である. また,  H は,  ED の中点なので, G は,  \triangle JED の重心である. したがって,  G は, 円の半径  JH 2:1 の比に内分するので,

 \displaystyle{GH = \frac{\sqrt{10}}{6}}

である.//

※ 下のような図だと  G \triangle JED の重心であることはすぐにわかる.  J, G, H, F は調和点列だなあ.

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