年度の神奈川県公立高校入試問題をやってみる. 正解率は
だそうである. 別解
はなかなか気づかなかった.
【問】
図のように長方形 があり, 辺
の中点を
とする. また辺
上に点
を
となるようにとり, 辺
上に
を線分
と線分
が垂直に交わるようにとる. さらに線分
と線分
の交点を
とする.
,
のとき, 線分
の長さを求めなさい.
【解】
から
に垂線を下ろし, 垂線の足を
とする. 四辺形
は円に内接する. したがって,
であり,
と
は相似であることがいえる (円に内接することに気がつかなくてもこの相似は証明できる).
から
であり, さらに
であることもすぐにわかる.
と
は相似なので,
から,
である.//
※ 別解
を原点にとり,
を
軸,
を
軸とする. 直線
の傾きは
だから, 直交する直線
の傾きは
である.
とおくと,
したがって である.
これから、 である. 後は同じ.//
※ 別解
なので,
から
は二等辺三角形である. したがって
である.
であるから,
したがって,
である.//
※ 別解
上の図のように ,
,
,
が
を中心とする半径
の円周上にあることがわかる.
を延長して, その円周との交点を
とする.
は一辺の長さが
の正方形である.
と
は相似であり, これから,
となり, は,
の中点である. また,
は,
の中点なので,
は,
の重心である. したがって,
は, 円の半径
を
の比に内分するので,
である.//
※ 下のような図だと が
の重心であることはすぐにわかる.
,
,
,
は調和点列だなあ.