陥没地帯 (196) - ノリの悪い日記

前回の $2018$ 年度の神奈川県公立高校入試問題の続き.

【問】

図のように長方形 $ABCD$ があり, 辺 $AB$ の中点を $E$ とする. また辺 $BC$ 上に点 $F$ を $BF: FC=2:1$ となるようにとり, 辺 $AD$ 上に $G$ を線分 $DE$ と線分 $FG$ が垂直に交わるようにとる. さらに線分 $DE$ と線分 $FG$ の交点を $H$ とする. $AB = 2 \mathrm{cm}$ , $BC = 3 \mathrm{cm}$ のとき, 線分 $GH$ の長さを求めなさい.

※ 前回は別解として, 下図のように、 $G$ は $\triangle JED$ の重心であることを示したところで寝てしまった.

他にないか考えてみる.

【別解 $4$ 】

ピタゴラスの定理より,

$GE^2 +FD^2 \\ = HG^2 + HE^2 + HD^2 + HF^2\\ = GD^2+ EF^2$

$x = GD$ とおくと, $GE^2 + FD^2 = GD^2 + EF^2$ から,

$1 + (3-x)^2 + 5 = x^2 + 5$

これを解いて,

$\displaystyle{x = GD = \frac{5}{3}}$

$\displaystyle{HD=HE = HF=\frac{\sqrt{10}}{2}}$ なので,

$\displaystyle{HG^2 + \frac{5}{2} +5 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 + 5 \\HG^2 = \frac{25}{9} - \frac{5}{2} = \frac{5}{18}}$

これから,

$\displaystyle{HG = \frac{\sqrt{10}}{6}}$

である.//

【別解 $5$ 】

$\displaystyle{\begin{align} \triangle GED &= \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot GD\\ &= \frac{1}{2} \sqrt{10} \cdot GH \end{align} }$

したがって,

$GD = \sqrt{10} \cdot GH$

$\displaystyle{10\cdot GH^2 = GH^2 + \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2}$

これから,

$\displaystyle{GH =\frac{ \sqrt{10}}{6}}$
//

【別解 $6$ 】
四辺形 $AEGH$ は円に内接するので, 方べきの定理から,

$DG\cdot DA = DH \cdot DE$
$3 DG = 5$
$\displaystyle{DG = \frac{5}{3}}$
$\displaystyle{\begin{align}GH &= \sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2} \\&= \frac{\sqrt{10}}{6}\end{align}}$
//

【別解 $7$ 】

$F$ から $AD$ に垂線を下ろし, その足を $J$ とする. $F$ は $\triangle AED$ の外接円の周上にあるので, シムソンの定理により, $B$ , $H$ , $J$ は一直線上にある. $\triangle BJA$ とそれを切る $ED$ にメネラウスの定理を使って,

$\displaystyle{\frac{BH}{HJ}\cdot \frac{JD}{DA}\cdot\frac{AE}{EB}\\ = \frac{BH}{HJ}\cdot \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}\\ =1 }$

から, $BH:HJ = 3:1$ である. $\triangle HBF$ と $\triangle HJG$ は相似なので, $HF:HG = 3:1$ である. $\displaystyle{HF = \frac{\sqrt{10}}{2}}$ なので, $\displaystyle{HG = \frac{\sqrt{10}}{6}}$ である.//