ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (196)

前回の 2018 年度の神奈川県公立高校入試問題の続き.

【問】
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図のように長方形  ABCD があり, 辺  AB の中点を  E とする. また辺  BC 上に点  F BF: FC=2:1 となるようにとり, 辺  AD 上に  G を線分  DE と線分  FG が垂直に交わるようにとる. さらに線分  DE と線分  FG の交点を  H とする.  AB = 2 \mathrm{cm},  BC = 3 \mathrm{cm} のとき, 線分  GH の長さを求めなさい.

※ 前回は別解として, 下図のように、 G \triangle JED の重心であることを示したところで寝てしまった.

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他にないか考えてみる.

【別解 4
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ピタゴラスの定理より,

 GE^2 +FD^2 \\
= HG^2 + HE^2 + HD^2 + HF^2\\
= GD^2+ EF^2

 x = GD とおくと,  GE^2 + FD^2 = GD^2 + EF^2 から,

 1 + (3-x)^2 + 5 = x^2 + 5

これを解いて,

 \displaystyle{x = GD = \frac{5}{3}}

 \displaystyle{HD=HE = HF=\frac{\sqrt{10}}{2}} なので,

 \displaystyle{HG^2 + \frac{5}{2}  +5 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 + 5 \\HG^2 = \frac{25}{9} - \frac{5}{2} = \frac{5}{18}}

これから,

 \displaystyle{HG = \frac{\sqrt{10}}{6}}

である.//

【別解 5

 \displaystyle{\begin{align} \triangle GED &= \frac{1}{2}\cdot 1 \cdot GD\\
&= \frac{1}{2} \sqrt{10} \cdot GH \end{align}
}

したがって,

 GD = \sqrt{10} \cdot GH

 \displaystyle{10\cdot GH^2 = GH^2 + \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2}

これから,

 \displaystyle{GH =\frac{ \sqrt{10}}{6}}
//

【別解 6
四辺形  AEGH は円に内接するので, 方べきの定理から,

 DG\cdot DA = DH \cdot DE
 3 DG = 5
 \displaystyle{DG = \frac{5}{3}}
 \displaystyle{\begin{align}GH &= \sqrt{\left(\frac{5}{3}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2} \\&= \frac{\sqrt{10}}{6}\end{align}}
//

【別解 7

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 F から  AD に垂線を下ろし, その足を  J とする.  F \triangle AED の外接円の周上にあるので, シムソンの定理により,  B, H, J は一直線上にある.  \triangle BJA とそれを切る  ED にメネラウスの定理を使って,

 \displaystyle{\frac{BH}{HJ}\cdot \frac{JD}{DA}\cdot\frac{AE}{EB}\\
= \frac{BH}{HJ}\cdot \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}\\
=1 }

から,  BH:HJ = 3:1 である.  \triangle HBF \triangle HJG は相似なので,  HF:HG = 3:1 である.  \displaystyle{HF = \frac{\sqrt{10}}{2}} なので,  \displaystyle{HG = \frac{\sqrt{10}}{6}} である.//

【別解 8

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 A から  ED に垂線を下ろし, 垂線の足を  K とする.  \triangle AED \triangle KEA は相似なので,

 \displaystyle{KE = \frac{1}{\sqrt{10}}\\ AK = \frac{3}{\sqrt{10}}\\
KD = \frac{9}{\sqrt{10}}\\
DH =  \frac{5}{\sqrt{10}}
}

 \triangle ADK \triangle GDH は相似であることから,

 \displaystyle{HG = \frac{\sqrt{10}}{6}}

である.//