年東大理科の問題. 問題文が短くてよいし, さして難しくない. (ピタゴラス数とか知っていれば, 法 で考えることはすぐに思いつく.)【問】 を 以上の整数とする. と の最大公約数 を求めよ. は整数の 乗にならないことを示せ.【解】 だが, は法 で または に…

年東大理科後期の問題.【解】円 の方程式を円 の方程式をとする. 題意から と は同心円ではないとしてよい. 平面上の点 について, 円 , の方べきが等しくなるときの軌跡を求める. つまり,これを整理すると,となり, 軌跡は直線となる. 点 , は, 円 , 双方の円…

単なる連立方程式の問題. いきなり解を求めるのではなく, 同次式にしてまず比例式 (連比) を求めるというのは, ありがちである. 比例式が求まってしまえば, あとは定石通り. ちなみに超初歩的だが, は かつ かつ と同値だが, たとえば, と があれば, は自動…

簡単な問題だが, 昔から入試によく取り上げられる. 年, 京大の問題. なお, 与えられた 点を通り, 一本の直線に接する円の作図方法は, 記事 に示しておいた. 一般に円は つ描ける. 【問】 を正の実数とする. 座標平面上の 点 , , をとり, を考える. の値が変…

前の記事の続き.有理数 (, , は自然数で互いに素) の連分数展開,で, 第 近似 は, から, , となる.第 近似 は, から, , となる.第 近似 は, 第 近似の を に置き換えればよいから,から, , となる. のとき, 第 近似 をと仮定すると, 第 近似 は, 第 近似の を …

次方程式の整数解を求めるやり方として, 共通テストで出題されるような簡単な問題は, 合同式で求めた方が早いと思うが, そうでない場合は, 連分数で求めることにしている. 不定方程式 の整数解 (特殊解) を見つけたかったら, を連分数展開して, の直前の近似…

ずっと前 *1 に, 次の問題 ( 年東大文理共通) をやったことがあるけれども, 別解に気がついた. この問題は, フィボナッチ数列に関係している.【問】 は正の整数とする。 を で割った余りを とおく。 数列 は を満たすことを示せ。 に対して、 は ともに正の…

年東大文理共通問題. 要するに連分数に関係した問題である. は答が黄金比と白銀比に関連している. は有理数の連分数がユークリッド互除法と同値であることを示せばよい.【問】 実数 の小数部分を, かつ が整数となる実数 のこととし, これを記号 で表す. 実…

有限増分定理は, 森毅の著作 「現代の古典解析」で知った. 彼が訳したディユドネの「現代解析の基礎」では, 平均値の定理として「有限増分定理」を紹介している. ディユドネは, 平均値の定理の真価は等式にあるのではなく, 不等式にあるのだ. と書いている. …

最初の問は, 黄金比 を使って計算量を減らせる問題. とか の三角比は入試にはそれなりに出題されている. これはたしか東大の入試問題だったと思う. 【問】 , とおく. このとき, 以下のことが成り立つことを示せ. および は有理数である. 任意の自然数 に対し…

年の京大理系の問題.【問】 与えられた自然数 に対し, 数列 を , によって定める. ただし実数 に対し, は を超えない最大の整数を表す. および のとき, 数列 を求めよ. すべての自然数 に対し, 次の つの不等式 , が成り立つことを示せ. ならば, 以上のすべ…

過去の入試問題から. 解いてから, すでに以前の記事で紹介済みであることに気がついた. 【問】 整数 に対し とおき, と定める. ただし, は虚数単位を表す. このとき, が任意の に対して成り立つような正の整数 をすべて求めよ.【解】 は, 任意の について整…

気分を変えて, 過去の大学入試問題から.【問】 , は自然数で は定数とする. 平面上の点 を頂点とし, 原点と点 を通る放物線を考える. この放物線と 軸で囲まれる領域の面積を , この領域の内部および境界線上にある格子点の数を とする. このとき極限値を求…

何題か基本問題で練習してみる.【例題 1】 [解] したがって, //【例題 2】 [解] ()とおくと, したがって, //【例題 3】 [解] ()とおくと, //【例題 4】 [解] ()とおくと, したがって, //※ あるいは, から, 例題 3 の結果を使って //【例題 5】 [解] とおくと…

高校数学の積分計算をすっきり行うための必要事項をすでに述べたことも含めて以下にまとめておく. 逆三角関数 , が全単射となるよう, として, 逆双曲線関数 , が全単射となるよう, として, 三角関数の倍角の公式 (次数下げ) 基本関数の微分 部分分数分解実数…

積分計算で, 三角関数の積を和に変えることが必要になることがあるが, 三角関数の積和公式は覚える必要はないし, 必要でもないので, 導出するだけ時間の無駄である.前回の記事で双曲線関数がそうであったように, と は同値なのだから, 後は加法定理を知って…

双曲線関数 , は, オイラーの公式と似ている,で定義された関数である. は,で定義される.である. これから,もすぐにわかる. 後は双曲線関数の加法定理,で, の符号が三角関数と違うことだけ覚えておけばよい. その他の公式は, 三角関数同様, すべてこれらから…

逆関数の積分というのは, 次のようなからくりになっている.求める逆関数の積分をとする. で置換積分することを考える. すると, だから,であり, したがって,となる. これを部分積分すると,となる. (定積分で面積計算するときなど, この式が役立つことがある. …

他のやり方はあるが, 根号の中が, の 次の分数式なので, とおいて解く (積分範囲は, から までに変わる). から, で置換して, したがって, //※ この積分は次のようにして, 部分積分により計算できる. 気づけばこちらの方が簡単である. //※ が全単射になるよう…

三角関数の有理式を積分する場合に, とおくのは有名だが, 計算がやや煩雑になるなので最後の手段で使うべきである. 前の記事 でもそうだったが, まず置換積分ができないか検討するのは, よい方略だと思う.たとえば, 不定積分,のような場合,だから, となって,…

最近, 長々と数 の積分計算のやり方を教えていたのだが, せいぜい つぐらい計算すれば, 高校数学範囲内で必要な積分の計算の仕方が全部説明できるような例題セットはないのかなあと感じた.そう思っていたら, ネット動画に次の積分を紹介している人がいて, こ…

の因数分解をするのに, 平方完成すればよいという解説があって, それはその通りだなあと思ったんだけど, 別解として, いわゆる「とってがけ」の逆をやる方法があるんではないだろうかと思った. は でも でも割れ, したがって で割れるから, つの数の最大公約…

斜軸回転体の体積を求める有名問題だが, 計算したことがないので, 計算してみる. 立方体の平面による切断面は中学受験から大学受験まで大活躍である. 積分計算自体は, 数 範囲のものである. (実際, 京大は文理共通問題として出題している.) 【問】座標空間内…

これって, 思わず無駄な計算をしそうになる.【問】 次方程式 の つの解がともに正の整数となるような の値をすべて求めよ. 更に, その の値のそれぞれに対する方程式 の解を求めよ.[解] つの整数解を , ( とする) とおくと, 解と係数の関係から,したがって,…

これも余事象を使って解いた方が手っ取り早い.【問】 の 次方程式が, の範囲にただ つの実数解をもつ条件を求めよ.【解】 まず, 少なくとも つの実数解をもつ条件を求める.判別式,から, , が得られる.とおいて, 解をもたない かつ *1 の余事象 または を求め…

参考書の解答が嫌なので……【問】 放物線 上に 点 , をとる. が の範囲を動くとき, 線分 が通過する領域を図示せよ.【解】 線分 上の点を とすると, は, 直線 上にあることから,で , 端点が , より のとりえる範囲は,であることから, かつ,である. 以上の条件…

数 で, 与えられた交わる 円の交点ともう一点, (同一直線上にはない) 別の点を通る円の方程式を求める問題で, 「円束」*1 を使って解くやり方があるが, それがなぜ円の方程式になるかという大変良い質問をされて, 計算する羽目になった. これは, 初等幾何的…

ある人が学ぶことが, どんどん貧しくなっている下のような具体例を挙げてくれていて, なるほどなと思った.その人は, 自分だったら「連続した つの偶数の積は, の倍数であることを証明せよ」とノーヒントで出すとも言っているが, この発言にも共感できる. 自…

図形ばかり続いたので, たまには, 整数をやる. 京大の2010年.【問】次の問に答えよ. を正の整数, とする. は, で割り切れるが, では割り切れないことを示せ. を正の偶数とする. が で割り切れるならば または, であることを示せ.【解】 は, 数学的帰納法で証…

この問題は, まっとうに解いた方が早いなあ. やりたくないけど……【問】 点 を中心とする円に内接する四角形 において, , , , とする. と をそれぞれ, と を用いて表わせ.【解】 から に垂線を下ろして, その足を とする. 問題の仮設より,なので, である. し…