ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (231)

何題か基本問題で練習してみる.

【例題 1】
 \displaystyle{\int \sin^4xdx}

[解]
 \displaystyle{
\sin^4x
\\= \sin^3x\sin x
\\=\frac{1}{4}(3\sin x - \sin 3x)\sin x
\\=\frac{1}{4}(3\sin^2 x - \sin 3x\sin x)
\\=\frac{3}{8}(1-\cos2x)-\frac{1}{8}(\cos 2x - \cos 4x)}
 \displaystyle {= \frac{3}{8}- \frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{8}\cos 4x
}

したがって,

 \displaystyle{\int \sin^4xdx}
\\= \frac{3}{8}x- \frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{32}\sin 4x + C
//

【例題 2】
 \displaystyle{I=\int \tan^4xdx}

[解]
 t = \tan x ( -\pi/2 < x < \pi/2)とおくと,
 \begin{align}
dx &= (\arctan t)'dt\\
     &= \frac{1}{t^2+1}dt
\end{align}

 \displaystyle{
I 
\\= \int \frac{t^4}{t^2 +1} dt
\\= \int \frac{(t^4-1)+1}{t^2 +1} dt
\\= \int \left(t^2 - 1 + \frac{1}{t^2 +1} \right)dt
\\= \frac{1}{3}t^3 - t + \arctan t + C
}

したがって,

 \displaystyle{I = \frac{1}{3}\tan^3 x- \tan x + x + C}
//

【例題 3】
 \displaystyle{I=\int \frac{1}{\sin x}dx}

[解]
 t = \tan \frac{x}{2} ( -\pi < x < \pi )とおくと,
 \begin{align}
dx &= 2(\arctan t)'dt\\
     &= \frac{2}{t^2+1}dt
\end{align}

 \begin{align}
\sin x  &= \sin (2\arctan t)\\
     &= 2\sin(\arctan t)\cos(\arctan t)\\
     &= 2\frac{t}{1+t^2}
\end{align}

 \displaystyle{
I 
\\= \int \frac{1}{t} dt
\\= \log |t| + C\\
= \log\left|\tan \frac{x}{2}\right|+ C}
//

【例題 4】
 \displaystyle{I=\int \frac{1}{\cos x}dx}

[解]
 t = \tan \frac{x}{2} ( -\pi < x < \pi )とおくと,
 \begin{align}
dx &= 2(\arctan t)'dt\\
     &= \frac{2}{t^2+1}dt
\end{align}

 \begin{align}
\cos x  &= \cos (2\arctan t)\\
     &= 2\cos^2(\arctan t) -1\\
     &= \frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{align}

 \displaystyle{
I 
\\= 2\int \frac{1}{1-t^2} dt
\\ = \int \left(\frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t}\right)dt
\\= \log |1+t| - \log |1-t| + C
\\= \log \left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C
}

したがって,

 \displaystyle{
I = \log \left|\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right| + C
}
//

※ あるいは,  \cos x = \sin (x + \pi/2)から, 例題 3 の結果を使って

 \displaystyle{
I = \log\left|\tan \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right|+ C}
//

【例題 5】
 \displaystyle{I=\int_{1}^{\sqrt{3} }\frac{1}{x^2 + 3}dx}

[解]

 x = \sqrt{3}t とおくと,

 \displaystyle{I
\\=\frac{\sqrt{3}}{3}\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1 }\frac{1}{t^2 + 1}dt}
 \displaystyle{=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\arctan(1) - \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right)
\\ = \frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right)
\\= \frac{\sqrt{3}}{36}\pi}
//

【例題 6】
 \displaystyle{I=\int_{-1}^{0 }\frac{1}{x^2 + 2x+2}dx}

[解]

 \displaystyle{I
\\=\int_{-1}^{0 }\frac{1}{(x+1)^2+1}dx
}

 x+1 = t とおくと、

 \displaystyle{I
\\=\int_{0}^{1}\frac{1}{t^2+1}dx
\\=\arctan(1)- \arctan(0)
\\= \frac{\pi}{4}}
//

【例題 7】
 \displaystyle{I=\int \frac{x^3}{\sqrt{1+x^2}}dx}

[解]
 x = \sinh t とおくと,

 dx = \cosh t dt
 \sqrt{1+\sinh^2 t} = |\cosh t| = \cosh t

だから,

 \displaystyle{
I 
\\= \int \sinh^3 t dt
\\= \int (\cosh^2 t -1)\sinh t dt
\\= \frac{1}{3}\cosh^3 t - \cosh t + C
}

 \cosh(\mathrm{arsinh}\ x) = \sqrt{1+x^2}

より,

 \displaystyle{I \\= \frac{1}{3}(1+x^2)\sqrt{1+ x^2} - \sqrt{1+x^2} + C
\\= \frac{1}{3}(x^2-2)\sqrt{x^2+1} + C
}
//