陥没地帯 (231) - ノリの悪い日記

何題か基本問題で練習してみる.

【例題 1】
$\displaystyle{\int \sin^4xdx}$

[解]
$\displaystyle{ \sin^4x \\= \sin^3x\sin x \\=\frac{1}{4}(3\sin x - \sin 3x)\sin x \\=\frac{1}{4}(3\sin^2 x - \sin 3x\sin x) \\=\frac{3}{8}(1-\cos2x)-\frac{1}{8}(\cos 2x - \cos 4x)}$
$\displaystyle {= \frac{3}{8}- \frac{1}{2}\cos2x+\frac{1}{8}\cos 4x }$

したがって,

$\displaystyle{\int \sin^4xdx} \\= \frac{3}{8}x- \frac{1}{4}\sin 2x+\frac{1}{32}\sin 4x + C$
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【例題 2】
$\displaystyle{I=\int \tan^4xdx}$

[解]
$t = \tan x$ ( $-\pi/2 < x < \pi/2$ )とおくと,
$\begin{align} dx &= (\arctan t)'dt\\ &= \frac{1}{t^2+1}dt \end{align}$

$\displaystyle{ I \\= \int \frac{t^4}{t^2 +1} dt \\= \int \frac{(t^4-1)+1}{t^2 +1} dt \\= \int \left(t^2 - 1 + \frac{1}{t^2 +1} \right)dt \\= \frac{1}{3}t^3 - t + \arctan t + C }$

したがって,

$\displaystyle{I = \frac{1}{3}\tan^3 x- \tan x + x + C}$
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【例題 3】
$\displaystyle{I=\int \frac{1}{\sin x}dx}$

[解]
$t = \tan \frac{x}{2}$ ( $-\pi < x < \pi$ )とおくと,
$\begin{align} dx &= 2(\arctan t)'dt\\ &= \frac{2}{t^2+1}dt \end{align}$

$\begin{align} \sin x &= \sin (2\arctan t)\\ &= 2\sin(\arctan t)\cos(\arctan t)\\ &= 2\frac{t}{1+t^2} \end{align}$

$\displaystyle{ I \\= \int \frac{1}{t} dt \\= \log |t| + C\\ = \log\left|\tan \frac{x}{2}\right|+ C}$
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【例題 4】
$\displaystyle{I=\int \frac{1}{\cos x}dx}$

[解]
$t = \tan \frac{x}{2}$ ( $-\pi < x < \pi$ )とおくと,
$\begin{align} dx &= 2(\arctan t)'dt\\ &= \frac{2}{t^2+1}dt \end{align}$

$\begin{align} \cos x &= \cos (2\arctan t)\\ &= 2\cos^2(\arctan t) -1\\ &= \frac{1-t^2}{1+t^2} \end{align}$

$\displaystyle{ I \\= 2\int \frac{1}{1-t^2} dt \\ = \int \left(\frac{1}{1+t} + \frac{1}{1-t}\right)dt \\= \log |1+t| - \log |1-t| + C \\= \log \left|\frac{1+t}{1-t}\right| + C }$

したがって,

$\displaystyle{ I = \log \left|\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right| + C }$
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※ あるいは, $\cos x = \sin (x + \pi/2)$ から, 例題 3 の結果を使って

$\displaystyle{ I = \log\left|\tan \left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right|+ C}$
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【例題 5】
$\displaystyle{I=\int_{1}^{\sqrt{3} }\frac{1}{x^2 + 3}dx}$

[解]

$x = \sqrt{3}t$ とおくと,

$\displaystyle{I \\=\frac{\sqrt{3}}{3}\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{1 }\frac{1}{t^2 + 1}dt}$
$\displaystyle{=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(\arctan(1) - \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right) \\ = \frac{\sqrt{3}}{3}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6}\right) \\= \frac{\sqrt{3}}{36}\pi}$
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