ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (221)

高校数学

$x^2 -12x -864 = 0$ の因数分解をするのに, 平方完成すればよいという解説があって, それはその通りだなあと思ったんだけど, 別解として, いわゆる「とってがけ」の逆をやる方法があるんではないだろうかと思った.

$864$ は $3$ でも $4$ でも割れ, したがって $12$ で割れるから, $2$ つの数の最大公約数は $12$ である.

元の式の因数分解をするかわりに,

$12x^2 -12x - 72 = 0$

として, 両辺を $12$ で割ると,

$x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) = 0$

したがって, もとの式の解は, 定数項に $12$ をかけて,

$(x-36)(x+24) = 0$

である. //

※ 巷で「とってがけ」とか言われているのは, たとえば,

$2x^2 + 21x + 55 = 0$ を「たすきがけ」で因数分解するかわりに,

$x^2 + 21x + 55 \cdot 2= (x + 11)(x + 10)$

を求めておいて,

$\begin{eqnarray} \left(x + \frac{11}{2}\right)(x + 5) &= & 0 \end{eqnarray}$

とするやり方のことをいう.//

※ $x^2 + 119x -3600 = 0$ のような場合は,

$119 = 7\cdot 17$ *1, $3600 = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2$ で互いに素である.

$2$ つの解を $\alpha$ , $\beta$ とし, $\alpha \leq \beta$ とすれば,

$\alpha^2 \leq 60^2$

だから, 互いに素である $(\alpha, \beta)$ の可能な組合せは,

$(\pm 1, \mp 3600)$ , $(\pm 9, \mp 400)$ , $(\pm 16, \mp 225)$ , $(\pm 25, \mp 144)$

しかない. したがって

$(x - 25)(x + 144) = 0$

とわかる. //

*1: $7$ の倍数の判定は $10$ の位以上の数字から, $1$ の位の数字の $2$ 倍を引けばよい. この場合は, $11-2 \times 9$ が $7$ の倍数であることを確認すればよい. あるいは, $98$ は $7$ で割れるから, $1 \times 2 + 19$ が $7$ の倍数であることを利用してもよい.