ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (217)

これって, 思わず無駄な計算をしそうになる.

【問】
2 次方程式  E:  x^2 + (m-23)x+ m=02 つの解がともに正の整数となるような  m の値をすべて求めよ. 更に, その  m の値のそれぞれに対する方程式  E の解を求めよ.

[解]

 2 つの整数解を  \alpha,  \beta ( \alpha \leq \beta とする) とおくと, 解と係数の関係から,

 \begin {align}
\alpha\beta &= m\\
\alpha + \beta &= 23-m
\end{align}

したがって,

 \displaystyle{
\alpha + \beta = 23-\alpha\beta }

となるが, 少し変形すれば

 (\alpha + 1)(\beta + 1) = 24

となる.

 (\alpha + 1)^2 \leq 24

だから,

 \alpha + 1 = 2, 3, 4

である. したがって,

 (\alpha, \beta) = (1,11), (2, 7), (3,5)

となり,  m の値は,  m = \alpha\beta から, それぞれ, 11,  14,  15 である.//