ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (217)

高校数学

これって, 思わず無駄な計算をしそうになる.

【問】
2 次方程式 E: x^2 + (m-23)x+ m=0 の 2 つの解がともに正の整数となるような m の値をすべて求めよ. 更に, その m の値のそれぞれに対する方程式 E の解を求めよ.

[解]

2 つの整数解を \alpha, \beta ( \alpha \leq \beta とする) とおくと, 解と係数の関係から,

\begin {align} \alpha\beta &= m\\ \alpha + \beta &= 23-m \end{align}

したがって,

\displaystyle{ \alpha + \beta = 23-\alpha\beta }

となるが, 少し変形すれば

(\alpha + 1)(\beta + 1) = 24

となる.

(\alpha + 1)^2 \leq 24

だから,

\alpha + 1 = 2, 3, 4

である. したがって,

(\alpha, \beta) = (1,11), (2, 7), (3,5)

となり, m の値は, m = \alpha\beta から, それぞれ, 11, 14, 15 である.//