ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (199)

高校数学 整数問題

図形ばかり続いたので, たまには, 整数をやる. 京大の2010年.

【問】

次の問に答えよ.

(1) n を正の整数, a = 2^n とする. 3^a - 1 は, 2^{n+2} で割り切れるが, 2^{n+3} では割り切れないことを示せ.

(2) m を正の偶数とする. 3^m - 1 が 2^m で割り切れるならば m = 2 または, m = 4 であることを示せ.

【解】

(1) は, 数学的帰納法で証明する.

n = 1 のとき, 3^2 - 1 = 8 だが, 2^{1+2} = 8 で割り切れるが, 2^{1+3} = 16 ではわりきれないので成立する.

n = k で成立するとする. n = k + 1 のとき,

\displaystyle{\begin{align} 3^{2^{k+1}}- 1 &= (3^{2^k})^2 - 1\\ &= (3^{2^k} - 1)(3^{2^k} +1)\end{align}}

帰納法の仮定から, 3^{2^k} - 1 は, 2^{k+2} では割り切れるが, 2^{k+3} では割り切れない.

一方,

\displaystyle{3^{2^k} + 1 \\ \equiv (-1)^{2^k} + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \ \ (\rm{mod} \ 4)}

だから, 3^{2^{k}} + 1 は偶数であるものの 4 では割り切れない. つまり, 3^{2^{k+1}} - 1 は, 2^{(k+1)+2} では割り切れるが, 2^{(k+1)+3} では割り切れない. よって n = k + 1 についても成立するので, 題意は証明された.

(2) n を正の整数, d を正の奇数として,

m = 2^nd

とおく.

3^m - 1 \\ = (3^{2^n})^d - 1\\ = (3^{2^n} -1)\{(3^{2^n})^{d-1} + \cdots + 3^{2^n} +1 \}

ここで,

(3^{2^n})^{d-1} + \cdots + 3^{2^n} +1 \equiv 1 \ \ (\rm{mod} \ 2)
(左辺の項の数は d 個)

なので, 3^m -1 の素因数 2 は, すべて 3^{2^n}- 1 に存在する. 問 (1) の結果を言いかえれば, 3^{2^n}- 1 の素因数 2 の指数は, n + 2 である.

ところが, 問 (2) の仮設より, 3^{2^nd}- 1 は, 2^{2^nd} で割りきることができるので,

2^nd \leq n + 2

でなければならない.

2^n \leq n + 2

を満たすのは, n =1,2 のときだけである. n = 1 のとき, 2d \leq 3 を満たすのは, d = 1 で, n = 2 のとき, 4d \leq 4 を満たすのも d = 1 だけである. これから, m は 2 または 4 であることが言えた.//