陥没地帯 (242) - ノリの悪い日記

単なる連立方程式の問題. いきなり解を求めるのではなく, 同次式にしてまず比例式 (連比) を求めるというのは, ありがちである. 比例式が求まってしまえば, あとは定石通り. ちなみに超初歩的だが, $A= B=C$ は $A=B$ かつ $B = C$ かつ $C = A$ と同値だが, たとえば, $A=B$ と $B = C$ があれば, $C =A$ は自動的に出てくるので, $3$ つは過剰な条件なのである. 不等式の $A < B < C$ とき, なぜ $A < B$ かつ $B < C$ でよいのかも同じように考えればよい.

【問】
$a$ , $b$ , $c$ は相異なる実数とする.

$\begin{eqnarray} bx + cy + az &=& cx + ay + bz \\&=& a^2+b^2+c^2\\ x+y+z &=& a+b+c \end{eqnarray}$

を, $x$ , $y$ , $z$ について解け.

【解】
$b(x-b) + c(y-c) + a(z-a) =0$
$(x-b) + (y-c) + (z-a) = 0$

これから, $x-b$ , $y-c$ をひとつの変数とみて, $2$ 元 $1$ 次連立方程式を解き, 結果を比例式の形にする *1.

$\displaystyle{ \frac{x-b}{c-a} = \frac{y-c}{a-b}= \frac{z-a}{b-c} = k}$

とおいて,

$\begin{eqnarray} x &=& k(c-a) + b\\ y &=& k(a-b) + c\\ z &=& k(b-c) + a \end{eqnarray}$

を得る. これから

$\displaystyle{ cx + ay + bz \\= k\{c(c-a) + a(a-b) + c(b-c)\} \\ \quad +bc +ca + ab\\ \\=k(a^2+b^2+ c^2 -ab -bc -ca)\\ \quad +bc +ca + ab\\ \\=a^2+b^2+c^2 }$

つまり,

$\displaystyle { k(a^2+b^2+ c^2 -ab -bc -ca) \\=a^2+b^2+c^2-ab-bc -ca}$

$a$ , $b$ , $c$ は相異なる実数なので,

$\displaystyle{a^2 + b^2 + c^2 -ab-bc-ca \\=\frac{1}{2}\{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2\} >0}$

したがって, $k = 1$ となる. よって,

$\begin{eqnarray} x &=& b+ c-a\\ y &=& a+c -b\\ z &=& a+ b-c \end{eqnarray}$
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もう一題は, 単なる因数分解の問題.

【問】

$(x+2)(x+3)(x+4)(x+6)-30x^2$

を因数分解せよ. (回答欄を見ると、係数の穴埋めになっていて、上の式は有理数の範囲で、 $1$ 次式 $2$ つと $2$ 次式 $1$ つに分解することになっている.)

【解】

$(x+2)(x+3)(x+4)(x+6)-30x^2 \\= (x+2)(x+3)(x+4)(x+5+1)-30x^2 \\=(x^2+7x+10)(x^2+7x+12) \\ \quad + (x+2)(x^2+7x+12) -30x^2 \\=(x^2+7x)^2+(x+24)(x^2+7x) \\ \quad -30x^2 +12x+144 \\=(x^2+7x)^2+(x+24)(x^2+7x) \\ \quad + (6x+12)(-5x+12) \\=(x^2+13x+12)(x^2+2x+12) \\=(x+1)(x+12)(x^2+2x+12)$
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