ノリの悪い日記

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陥没地帯 (230)

高校数学数III積分

高校数学の積分計算をすっきり行うための必要事項をすでに述べたことも含めて以下にまとめておく.

$1)$ 逆三角関数

$y = \sin(x)$ , $y = \tan (x)$ が全単射となるよう,

$\sin(x) : [-\pi/2, \pi/2] \rightarrow [-1,1]$
$\tan(x): (-\pi/2, \pi/2) \rightarrow \mathrm{R}$

として,

$\displaystyle {\arcsin(y) = \int \frac{1}{\sqrt{1-y^2} }dy}$
$\displaystyle {\arctan(y) = \int \frac{1}{1+y^2} dy}$

$(2)$ 逆双曲線関数

$y = \sinh(x)$ , $y = \cosh (x)$ が全単射となるよう,

$\sinh(x) : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm R$
$\cosh(x) : [0, \infty) \rightarrow [1,\infty)$

として,

$\displaystyle {\mathrm{arsinh}(y) \\= \int \frac{1}{\sqrt{1+y^2} }dy \\ = \log\left(y + \sqrt{1+y^2}\right) +C}$

$\displaystyle {\mathrm{arcosh}(y) \\ = \int \frac{1}{\sqrt{y^2 -1}} dy \\= \log\left(y + \sqrt{y^2-1}\right)+C}$

$(3)$ 三角関数の倍角の公式 (次数下げ)

$\displaystyle{ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2} }$
$\displaystyle{ \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2} }$
$\displaystyle{ \cos^3 \theta = \frac{3\cos \theta + \cos 3\theta}{4} }$
$\displaystyle{ \sin^3 \theta = \frac{3\sin \theta - \sin 3\theta}{4} }$

$(4)$ 基本関数の微分

$\displaystyle{\left(\frac{1}{\tan x}\right)' = - \frac{1}{\sin^2 x}}$

$(5)$ 部分分数分解

実数係数の多項式 $f(x)$ は、実数係数の $1$ 次または $2$ 次の既約多項式の積に必ず分解できる.

すべての有理関数の不定積分が, 有理関数と $\log$ (対数関数), $\arctan$ (逆正接関数) によって表わすことができることは, $18$ 世紀にライプニッツによって証明された.

定数の求め方:

$\begin{align} F(x) &= \frac{1}{(x-2)^2(x-1)} \\ &= \frac{A}{(x-2)^2} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x-1} \end{align}$

$\begin{align} A &= \lim_{x \to 2}(x-2)^2 F(x) \\ &= \lim_{x \to 2} \frac{1}{x-1} \\ &= 1 \end{align}$

$\begin{align} B &= \lim_{x \to 2} \left\{\frac{1}{x-1}\right\}'\\ &= \lim_{x \to 2} \frac{-1}{(x-1)^2} \\ &= -1 \end{align}$

※
$\begin{align} \frac{1}{x(x+2)} &= \frac{1}{2}\cdot \frac{(x+2) - x}{x(x+2)} \\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+2}\right) \end{align}$

$(6)$ 三角関数の有理関数

三角関数の有理関数の不定積分

$\displaystyle{\int R(\sin\theta,\cos \theta)d\theta}$

は，

$\displaystyle{t = \tan \frac{\theta}{2}}$ $(-\pi < \theta < \pi)$

と置くことで， $t$ についての有理関数の不定積分に帰着できる.

※ $R(\sin^2 \theta,\cos^2 \theta)$ , $R(\sin 2\theta, \cos 2\theta)$ , $R( \tan \theta)$ の場合には,

$\displaystyle{t = \tan \theta}$ $(-\pi /2 < \theta < \pi/2)$

でよい.

$(7)$ $1$ 次分数の $n$ 乗根を含む不定積分

$1$ 次分数の $n$ 乗根 ( $n \geq 2$ , 自然数) を含む有理関数の不定積分,

$\displaystyle{ \int R\left(x, \sqrt[n]{\frac {ax+b}{cx+d}}\right)dx}$

( $ad-bc \neq 0$ )

は,

$\displaystyle{t = \sqrt[n]{\frac {ax+b}{cx+d}}}$

と置換すれば, $t$ についての有理関数の不定積分に帰着できる.

※ もちろん, 上記には,

$\displaystyle{ \int R\left(x, \sqrt[n]{ax+b}\right)dx}$

の場合も含まれる.
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