年東大理科の問題. 問題文が短くてよいし, さして難しくない. (ピタゴラス数とか知っていれば, 法
で考えることはすぐに思いつく.)
【問】
を
以上の整数とする.
と
の最大公約数
を求めよ.
は整数の
乗にならないことを示せ.
【解】
だが, は法
で
または
にしかなれないので,
で割れきれるということはない. したがって,
が偶数のとき
で, 奇数のとき,
である.
は整数の
乗になると仮定する.
が偶数のとき:
,
は互いに素なので, 互いに素な
より大きな整数
,
によって,
と書けるが,
となって, 整数 の存在は矛盾する.
が奇数のとき:
,
の最大公約数は
なので, 互いに素な
以上の整数
,
によって,
と書けるが, 番目の式で
(
)
から, ( と
は互いに素なので
で割ることができて)
(
)
となるが, 法 における平方剰余は,
,
,
がすべてであるので矛盾する.
以上, いずれの場合も矛盾するので, は整数の
乗にならない.
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