ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (244)

2019 年東大理科の問題. 問題文が短くてよいし, さして難しくない. (ピタゴラス数とか知っていれば, 法 5 で考えることはすぐに思いつく.)

【問】
 n1 以上の整数とする.

(1)  n^2+15n^2 + 9 の最大公約数  d_m を求めよ.

(2)  (n^2+1)(5n^2+9) は整数の 2 乗にならないことを示せ.

【解】
(1)
 \mathrm{gcd}(n^2+1, 5n^2+9) = \mathrm{gcd}(n^2+1, 4)

だが,  n^2 + 1 は法  4 1 または  2 にしかなれないので,  4 = 2^2 で割れきれるということはない. したがって,  n が偶数のとき  d_m=1 で, 奇数のとき,  d_m =2 である.

(2)
 (n^2+1)(5n^2+9) は整数の 2 乗になると仮定する.

 n が偶数のとき:
 n^2+1,  5n^2+9 は互いに素なので, 互いに素な 1 より大きな整数  p, q によって,

\begin{align}
 n^2+ 1 &=p^2
\\5n^2+9 &= q^2
\end{align}

と書けるが,

 n^2 < n^2 +  1< (n+1)^2

となって, 整数  p の存在は矛盾する.


 n が奇数のとき:
 n^2+1,  5n^2+9 の最大公約数は 2 なので, 互いに素な 1 以上の整数  p, q によって,

 \begin{align}
n^2+ 1 &= 2p^2\\
5n^2+9 &= 2q^2
\end{align}

と書けるが,  2 番目の式で

 5n^2 + 9 \equiv 4 (\mathrm{mod}\ 5)

から, (25 は互いに素なので  2 で割ることができて)

 q^2 \equiv 2 (\mathrm{mod}\ 5)

となるが, 法 5 における平方剰余は,  0, 1, 4 がすべてであるので矛盾する.

以上, いずれの場合も矛盾するので,  (n^2+1)(5n^2+9) は整数の 2 乗にならない.

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