ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (244)

高校数学整数問題

$2019$ 年東大理科の問題. 問題文が短くてよいし, さして難しくない. (ピタゴラス数とか知っていれば, 法 $5$ で考えることはすぐに思いつく.)

【問】
$n$ を $1$ 以上の整数とする.

$(1)$ $n^2+1$ と $5n^2 + 9$ の最大公約数 $d_m$ を求めよ.

$(2)$ $(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の $2$ 乗にならないことを示せ.

【解】
$(1)$
$\mathrm{gcd}(n^2+1, 5n^2+9) = \mathrm{gcd}(n^2+1, 4)$

だが, $n^2 + 1$ は法 $4$ で $1$ または $2$ にしかなれないので, $4 = 2^2$ で割れきれるということはない. したがって, $n$ が偶数のとき $d_m=1$ で, 奇数のとき, $d_m =2$ である.

$(2)$
$(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の $2$ 乗になると仮定する.

$n$ が偶数のとき:
$n^2+1$ , $5n^2+9$ は互いに素なので, 互いに素な $1$ より大きな整数 $p$ , $q$ によって,

$\begin{align} n^2+ 1 &=p^2 \\5n^2+9 &= q^2 \end{align}$

と書けるが,

$n^2 < n^2 + 1< (n+1)^2$

となって, 整数 $p$ の存在は矛盾する.

$n$ が奇数のとき:
$n^2+1$ , $5n^2+9$ の最大公約数は $2$ なので, 互いに素な $1$ 以上の整数 $p$ , $q$ によって,

$\begin{align} n^2+ 1 &= 2p^2\\ 5n^2+9 &= 2q^2 \end{align}$

と書けるが, $2$ 番目の式で

$5n^2 + 9 \equiv 4$ ( $\mathrm{mod}\ 5$ )

から, ( $2$ と $5$ は互いに素なので $2$ で割ることができて)

$q^2 \equiv 2$ ( $\mathrm{mod}\ 5$ )

となるが, 法 $5$ における平方剰余は, $0$ , $1$ , $4$ がすべてであるので矛盾する.

以上, いずれの場合も矛盾するので, $(n^2+1)(5n^2+9)$ は整数の $2$ 乗にならない.

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