陥没地帯 (240) - ノリの悪い日記

前の記事の続き.

有理数 $\dfrac{p}{q}$ ( $q \neq 0$ , $p$ , $q$ は自然数で互いに素) の連分数展開,

$\displaystyle{ \dfrac{p}{q} = a_0 + \dfrac{1}{a_1+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{\ddots \dfrac{1}{a_{n-1}+\dfrac{1}{a_n}}}}} }$

で, 第 $1$ 近似 $\displaystyle{ \frac{p_1}{q_1}}$ は,

$\displaystyle{ \frac{p_1}{q_1} = a_0}$

から, $p_1 = a_0$ , $q_1 =1$ となる.

第 $2$ 近似 $\displaystyle{ \frac{p_2}{q_2}}$ は,

$\begin{eqnarray} \frac{p_2}{q_2} &=& a_0 + \frac{1}{a_1} \\&=& \frac{p_1}{q_1} + \frac{1}{a_1} \\&=& \frac{a_1p_1 +q_1}{a_1q_1} \\&=& \frac{a_1p_1 +1}{a_1q_1} \end{eqnarray}$

から, $p_2 = a_1p_1+1$ , $q_2 = a_1q_1$ となる.

第 $3$ 近似 $\displaystyle{ \frac{p_3}{q_3}}$ は, 第 $2$ 近似の $a_1$ を $a_1 + \dfrac{1}{a_2}$ に置き換えればよいから,

$\begin{eqnarray} \dfrac{p_3}{q_3} &=& \dfrac{\left(a_1+ \dfrac{1}{a_2}\right)p_1 +1}{\left(a_1+ \dfrac{1}{a_2}\right) q_1} \\&=& \dfrac{a_2(a_1p_1 +1)+p_1}{a_2(a_1q_1)+q_1} \\&=& \dfrac{a_2p_2+p_1}{a_2p_2+q_1} \end{eqnarray}$

から, $p_3 = a_2p_2+p_1$ , $q_3 = a_2q_2+q_1$ となる.

$n \geq 3$ のとき, 第 $n$ 近似 $\displaystyle{ \frac{p_n}{q_n}}$ を

$\begin{eqnarray} \frac{p_n}{q_n} &=& \frac{a_{n-1}p_{n-1} +p_{n-2}}{a_{n-1}q_{n-1} +q_{n-2}} \end{eqnarray}$

と仮定すると, 第 $(n+1)$ 近似 $\displaystyle{ \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} }$ は, 第 $n$ 近似の $a_{n-1}$ を $\displaystyle{a_{n-1}+ \frac{1}{a_n}}$ で置き換えればよいから,

$\begin{eqnarray} \dfrac{p_{n+1}}{q_{n+1}} &=& \dfrac{\left(a_{n-1}+ \dfrac{1}{a_n} \right)p_{n-1} +p_{n-2}}{\left(a_{n-1}+ \dfrac{1}{a_n}\right)q_{n-1} +q_{n-2}} \\&=& \dfrac{a_n(a_{n-1} p_{n-1} +p_{n-2})+ p_{n-1}}{a_n(a_{n-1} q_{n-1} +q_{n-2})+ q_{n-1}} \\&=& \dfrac{a_np_n+ p_{n-1}}{a_nq_n + q_{n-1}} \end{eqnarray}$

となる.

さて, 第 $n$ 近似と第 $(n-1)$ 近似の差を求めると,

$\displaystyle{ \frac{p_{n}}{q_{n}} -\frac{p_{n-1}}{q_{n-1}} =\frac{p_{n}q_{n-1} - p_{n-1}q_{n}}{q_{n-1}q_{n}} }$

となるが,

$\displaystyle{ p_{n}q_{n-1} - p_{n-1}q_{n} \\= (a_{n-1}p_{n-1} + p_{n-2})q_{n-1} \\\quad - p_{n-1} (a_{n-1}q_{n-1} + q_{n-2}) \\= p_{n-2}q_{n-1} - p_{n-1}q_{n-2}}$
$\displaystyle{ = -(p_{n-1}q_{n-2} -p_{n-2}q_{n-1} ) \\ \cdots \\= (-1)^{n-2}(p_{2}q_{1} -p_{1}q_2 ) \\=(-1)^{n} }$