ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (215)

高校数学

参考書の解答が嫌なので……

【問】
放物線 $y = x^2$ 上に $2$ 点 $P(t, t^2)$ , $Q(t+1, (t+1)^2)$ をとる. $t$ が $-1 \leq t \leq 0$ の範囲を動くとき, 線分 $PQ$ が通過する領域を図示せよ.

【解】
線分 $PQ$ 上の点を $(x, y)$ とすると, $(x,y)$ は, 直線 $PQ$ 上にあることから,

$\displaystyle{ y = (2t+1)x -t^2-t \\ t^2+(-2x+1)t+y-x = 0\\}$

で , 端点が $P$ , $Q$ より $x$ のとりえる範囲は,

$t \leq x \leq t +1$

であることから,

$x-1 \leq t \leq x$

かつ,

$-1 \leq t \leq 0$

である. 以上の条件から,

$\begin{align} f(t) &= t^2+(-2x+1)t+y-x \\ &= \left(t-x +\frac{1}{2}\right)^2 + y - x^2 - \frac{1}{4} \end{align}$

とおいて, $t$ が存在するときの同値条件を求めればよい. (通過領域の問題は, 基本的にパラメータが存在する条件を求めることに帰着される.)

(1) $x \geq 0$ のとき,

$x-1 \leq t \leq 0$ で, $t$ が存在することから,

$\displaystyle{f(x - \frac{1}{2}) \leq 0}$

かつ

$( f(x-1) \geq 0) \vee (f(0) \geq 0 )$

の範囲から

$\displaystyle{ (x - \frac{1}{2} >0) \wedge ( f(0)> 0)}$

を除いた図を描く. なお,

$\displaystyle{f(x - \frac{1}{2}) = y - x^2 - \frac{1}{4}}$
$f(x-1) = y - x^2$
$f(0) = y - x$

である.

(2) $x \leq 0$ のとき,

$-1 \leq t \leq x$ で, $t$ が存在することから,

$\displaystyle{f(x - \frac{1}{2}) \leq 0}$

かつ

$( f(-1) \geq 0) \vee (f(x) \geq 0 )$

の範囲から

$\displaystyle{(x - \frac{1}{2} < -1) \wedge ( f(-1)> 0)}$

を除いた図を描く. なお,

$\displaystyle{f(x - \frac{1}{2})= y - x^2 - \frac{1}{4}}$
$f(-1) = x + y$
$f(x) = y - x^2$

である.

以上から求める領域は, 下図のようになる. ただし, 境界を含む. (グラフ横軸は $x$ , 縦軸は $y$ を示す.)

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※ 領域の上側の包絡線は, よく知られた簡単な求め方がある.

$\begin{eqnarray} y &=& (2t+1)x -t^2-t \end{eqnarray}$

の両辺を $t$ で偏微分して,

$0 = 2x -2t -1$

から,

$\displaystyle{t = x - \frac{1}{2}}$

上式を元の式に代入して,

$\displaystyle{y = x^2 + \frac{1}{4}}$

を得る. $x$ の範囲は, $-1 \leq t \leq 0$ だから,

$\displaystyle{-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}}$

である.

また, 端点の $t = -1, 0$ をそれぞれ元の式に代入すると,

$y = -x$ , $y = x$

をそれぞれ得る. $x < -1/2$ , $1/2 < x$ のところは, 端点 $x = -1/2$ , $1/2$ で包絡線に接している直線が輪郭として見えている.

この場合は明らかだが, 領域が包絡線の上にあるか, 下にあるか不明な場合は, もちろん $t$ にいくつかの値を代入して直線がどこを通っているのか, 確認すればよいのである!
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