ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (225)

三角関数の有理式を積分する場合に,  \displaystyle{\tan \frac{x}{2} = t} とおくのは有名だが, 計算がやや煩雑になるなので最後の手段で使うべきである. 前の記事 (222) でもそうだったが, まず置換積分ができないか検討するのは, よい方略だと思う.

たとえば, 不定積分,

 \displaystyle{I= \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx}

のような場合,

 \displaystyle{
\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \\
= 1 - \frac{\cos x}{\sin x + \cos x}\\
= 1 - \frac{\cos x-\sin x + \sin x}{\sin x + \cos x}}

だから,

 \displaystyle {
I = \int dx - \int \frac{(\sin x+ \cos x)'}{\sin x + \cos x}dx -I
}

となって,

 \begin{eqnarray} I &=&  \frac{1}{2}\int dx - \frac{1}{2}\int \frac{(\sin x+ \cos x)'}{\sin x + \cos x}dx\\
&=& \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\log{ |\sin x + \cos x| }+ C
\end{eqnarray}

と,  \displaystyle{\tan \frac{x}{2} = t} と置く前にあっけなく解けてしまった. この定積分は, 「特殊な定積分」として,  x = \pi/2 - t と置けと教わるが, 不定積分でもそんなにコストをかけずに解けることがわかった.

これが,

 \displaystyle{J= \int \frac{1}{\sin x + \cos x}dx}

だと,  \displaystyle{\tan \frac{x}{2} = t} と置いてもよいかなという気になる (置かなくても解けるが).

 \displaystyle{J= \int \frac{1}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}- \sin^2\frac{x}{2}}dx}

で分母, 分子を  \displaystyle{\cos^2 \frac{x}{2}} で割って,

 \displaystyle{ I \\= 2\int \frac{\frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}}}{2\tan \frac{x}{2}+ 1 - \tan^2\frac{x}{2}}dx \\=
2\int \frac{(\tan \frac{x}{2})'}{2\tan \frac{x}{2}+ 1 - \tan^2\frac{x}{2}}dx
}

となり, これから,

 \begin{eqnarray}
J &=& 2\int \frac{1}{1-t^2 + 2t}dt\\
&=& 2\int\frac{1}{2-(t-1)^2}dt\\
&=& 2\int\frac{1}{(\sqrt{2}-1 +t)(\sqrt{2}+1 -t)}dt
\end{eqnarray}

部分分数分解して,

 \displaystyle{
J \\= \frac{1}{\sqrt{2}}\int \left(\frac{1}{\sqrt{2}-1 +t}+ \frac{1}{\sqrt{2}+1 -t}\right)dt }

したがって,

 \displaystyle{
J \\
=  \frac{1}{\sqrt{2}} (\log | \sqrt{2}-1 +t| \\ - \log | \sqrt{2}+1 -t|) + C \\
=  \frac{1}{\sqrt{2}}\log \left|\frac{\sqrt{2}-1 +t}{\sqrt{2}+1 -t}\right| +C }

変数を戻して,

 \displaystyle{J=  \frac{\sqrt{2}}{2}\log \left|\frac{\sqrt{2}-1 +\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{2}+1 -\tan \frac{x}{2}} \right| +C 
}
//

※ 三角関数の積分をやっていると, (次数下げのために) よく  3 倍角の公式が必要になるが, ド・モアブルの定理と  3 乗の公式 (あるいは 2 項定理) から求めればよい.

 \displaystyle{ 
\cos 3\theta + i\sin 3\theta \\
= (\cos \theta + i\sin \theta)^3 \\
= \cos^3\theta-3\cos \theta \sin^2\theta 
\\ +i(3\cos^2 \theta \sin \theta - \sin ^3 \theta)
}

だから,

 \displaystyle{\cos 3\theta \\
= \cos^3\theta-3\cos \theta \sin^2\theta \\
= 4\cos^3\theta -3\cos \theta}

 \displaystyle{\sin 3\theta \\
= 3 \cos^2 \theta \sin \theta - \sin ^3 \theta\\
= 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta}

である.

あるいは,

 \displaystyle{
\cos^3 \theta 
\\= \cos^2 \theta \cos \theta
\\= \frac{1}{2}(1+\cos 2\theta)\cos \theta
\\= \frac{1}{2}\left(\cos \theta + \frac{\cos 3\theta + \cos \theta }{2}\right)
\\= \frac{3\cos \theta + \cos 3\theta}{4}
}

 \displaystyle{
\sin^3 \theta 
\\= \sin^2 \theta \sin \theta
\\= \frac{1}{2}(1-\cos 2\theta)\sin \theta
\\= \frac{1}{2}\left(\sin \theta - \frac{\sin 3\theta - \sin \theta }{2}\right)
\\= \frac{3\sin \theta - \sin 3\theta}{4}
}

とするのも簡便かもしれない.
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