陥没地帯 (225) - ノリの悪い日記

三角関数の有理式を積分する場合に, $\displaystyle{\tan \frac{x}{2} = t}$ とおくのは有名だが, 計算がやや煩雑になるなので最後の手段で使うべきである. 前の記事 $(222)$ でもそうだったが, まず置換積分ができないか検討するのは, よい方略だと思う.

たとえば, 不定積分,

$\displaystyle{I= \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x}dx}$

のような場合,

$\displaystyle{ \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \\ = 1 - \frac{\cos x}{\sin x + \cos x}\\ = 1 - \frac{\cos x-\sin x + \sin x}{\sin x + \cos x}}$

だから,

$\displaystyle { I = \int dx - \int \frac{(\sin x+ \cos x)'}{\sin x + \cos x}dx -I }$

となって,

$\begin{eqnarray} I &=& \frac{1}{2}\int dx - \frac{1}{2}\int \frac{(\sin x+ \cos x)'}{\sin x + \cos x}dx\\ &=& \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\log{ |\sin x + \cos x| }+ C \end{eqnarray}$

と, $\displaystyle{\tan \frac{x}{2} = t}$ と置く前にあっけなく解けてしまった. この定積分は, 「特殊な定積分」として, $x = \pi/2 - t$ と置けと教わるが, 不定積分でもそんなにコストをかけずに解けることがわかった.

これが,

$\displaystyle{J= \int \frac{1}{\sin x + \cos x}dx}$

だと, $\displaystyle{\tan \frac{x}{2} = t}$ と置いてもよいかなという気になる (置かなくても解けるが).

$\displaystyle{J= \int \frac{1}{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2}- \sin^2\frac{x}{2}}dx}$

で分母, 分子を $\displaystyle{\cos^2 \frac{x}{2}}$ で割って,

$\displaystyle{ I \\= 2\int \dfrac{\dfrac{1}{2\cos^2 \dfrac{x}{2}}}{2\tan \dfrac{x}{2}+ 1 - \tan^2\dfrac{x}{2}}dx \\= 2\int \dfrac{\left(\tan \dfrac{x}{2}\right)'}{2\tan \dfrac{x}{2}+ 1 - \tan^2\dfrac{x}{2}}dx }$

となり, これから,

$\begin{eqnarray} J &=& 2\int \frac{1}{1-t^2 + 2t}dt\\ &=& 2\int\frac{1}{2-(t-1)^2}dt\\ &=& 2\int\frac{1}{(\sqrt{2}-1 +t)(\sqrt{2}+1 -t)}dt \end{eqnarray}$

部分分数分解して,

$\displaystyle{ J \\= \frac{1}{\sqrt{2}}\int \left(\frac{1}{\sqrt{2}-1 +t}+ \frac{1}{\sqrt{2}+1 -t}\right)dt }$

したがって,

$\displaystyle{ J \\ = \frac{1}{\sqrt{2}} (\log | \sqrt{2}-1 +t| \\ \quad - \log | \sqrt{2}+1 -t|) + C \\ = \frac{1}{\sqrt{2}}\log \left|\frac{\sqrt{2}-1 +t}{\sqrt{2}+1 -t}\right| +C }$

変数を戻して,

$\displaystyle{J= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\log \left|\dfrac{\sqrt{2}-1 +\tan \dfrac{x}{2}}{\sqrt{2}+1 -\tan \dfrac{x}{2}} \right| +C }$
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※ 三角関数の積分をやっていると, (次数下げのために) よく $3$ 倍角の公式が必要になるが, ド・モアブルの定理と $3$ 乗の公式 (あるいは $2$ 項定理) から求めればよい.

$\displaystyle{ \cos 3\theta + i\sin 3\theta \\ = (\cos \theta + i\sin \theta)^3 \\ = \cos^3\theta-3\cos \theta \sin^2\theta \\ \quad +i(3\cos^2 \theta \sin \theta - \sin ^3 \theta) }$

だから,

$\displaystyle{\cos 3\theta \\ = \cos^3\theta-3\cos \theta \sin^2\theta \\ = 4\cos^3\theta -3\cos \theta}$

$\displaystyle{\sin 3\theta \\ = 3 \cos^2 \theta \sin \theta - \sin ^3 \theta\\ = 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta}$

である.

あるいは,

$\displaystyle{ \cos^3 \theta \\= \cos^2 \theta \cos \theta \\= \frac{1}{2}(1+\cos 2\theta)\cos \theta \\= \frac{1}{2}\left(\cos \theta + \frac{\cos 3\theta + \cos \theta }{2}\right) \\= \frac{3\cos \theta + \cos 3\theta}{4} }$

$\displaystyle{ \sin^3 \theta \\= \sin^2 \theta \sin \theta \\= \frac{1}{2}(1-\cos 2\theta)\sin \theta \\= \frac{1}{2}\left(\sin \theta - \frac{\sin 3\theta - \sin \theta }{2}\right) \\= \frac{3\sin \theta - \sin 3\theta}{4} }$

とするのも簡便かもしれない.
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