ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (233)

高校数学整数問題

過去の入試問題から. 解いてから, すでに以前の記事で紹介済みであることに気がついた.

【問】

整数 $n$ に対し

$\displaystyle{f(n) = \frac{n(n - 1)}{2}}$

とおき,

$\displaystyle{a_n = i^{f(n)}}$

と定める. ただし, $i$ は虚数単位を表す. このとき,

$a_{n + k} = a_{n}$

が任意の $n$ に対して成り立つような正の整数 $k$ をすべて求めよ.

【解】

$f(n)$ は, 任意の $n$ について整数となる。 $f(n)$ を $4$ で割った余りに, $a_n$ の値を対応させる写像

$F: X \rightarrow Y$
$X= \{0,1,2,3\}$ , $Y=\{-1, 1, i, -i\}$

は全単射であるので, 任意の整数 $n$ について,

$f(n + k) \equiv f(n)$ ( $\mathrm{mod}\ 4$ )

を満たす正の整数 $k$ を求めればよい.

$m$ をある整数として、上記の条件は

$\displaystyle{\frac{(n+k)(n+k-1)}{2}- \frac{n(n-1)}{2} = 4m}$

となり, これから整数 $n$ についての恒等式,

$2kn + k(k-1) = 8m$

が得られる.

上式において $n = 0$ とすると、

$k(k-1) = 8m$

となるが, $k$ と $k - 1$ は互いに素なので, $k \equiv 0$ $(\mathrm{mod}\ 8)$ または $k \equiv 1$ $(\mathrm{mod}\ 8)$ である.

さらに, $n = 1$ とすると

$(k + 1)k = 8m$

となるが, 上式を満たせるのは,

$k \equiv 0$ $(\mathrm{mod}\ 8)$

のときだけである. 逆に, $k \equiv 0$ $(\mathrm{mod}\ 8)$ ならば,

$2nk + k(k-1) = 8m$

は任意の $n$ で成立する. $k$ は正の整数であることから,

$k = 8, \ 16, \ 24,\ \cdots$ ( $8$ の正の倍数)

である. //