過去の入試問題から. 解いてから, すでに以前の記事で紹介済みであることに気がついた.
【問】
整数 に対し
とおき,
と定める. ただし, は虚数単位を表す. このとき,
が任意の に対して成り立つような正の整数
をすべて求めよ.
【解】
は, 任意の
について整数となる。
を
で割った余りに,
の値を対応させる写像
,
は全単射であるので, 任意の整数 について,
(
)
を満たす正の整数 を求めればよい.
をある整数として、上記の条件は
となり, これから整数 についての恒等式,
が得られる.
上式において とすると、
となるが, と
は 互いに素なので,
または
である.
さらに, とすると
となるが, 上式を満たせるのは,
のときだけである. 逆に,
ならば,
は任意の で成立する.
は正の整数であることから,
(
の正の倍数)
である. //