陥没地帯 (229) - ノリの悪い日記

積分計算で, 三角関数の積を和に変えることが必要になることがあるが, 三角関数の積和公式は覚える必要はないし, 必要でもないので, 導出するだけ時間の無駄である.

前回の記事で双曲線関数がそうであったように,

$X = A + B$
$Y = A - B$

と

$A = (X+Y)/2$
$B = (X-Y)/2$

は同値なのだから, 後は加法定理を知っていればすぐに計算できる. ちなみに, この形は関数を偶関数と奇関数のパートに分割するときや, 対称式と交代式に分けるときなどにもでてきたりする.

$\cos 3x \sin 5x \\= (\sin (3x + 5x) - \sin(3x-5x))/2 \\= (\sin 8x - \sin (-2x))/2 \\ = (\sin 8x + \sin 2x)/2$

もちろん, 順番が入れ替わっていても,

$\sin 5x \cos 3x \\= (\sin 8x + \sin 2x)/2$

となって, 両者の結果は変わらない. 以下に例をいくつかあげる.

$\sin 2x \cos 3x \\= (\sin 5x + \sin(-x))/2 \\= (\sin 5x - \sin x)/2$

$\cos 2x \cos 5x \\= (\cos 7x + \cos (-3x))/2 \\= (\cos 7x + \cos 3x)/2$

$\sin 2x \sin 4x \\= (\cos (2x - 4x) - \cos (2x + 4x))/2 \\= (\cos (-2x) - \cos 6x)/2 \\= (\cos 2x - \cos 6x)/2$

$\sin 3x \sin x \\= (\cos (3x - x) - \cos (3x + x))/2 \\= (\cos 2x - \cos 4x)/2$

和積公式に至っては, さらに必要ない. たとえば,

$\cos 4x - \cos 2x$

を積の形にしたかったら, 足して $4$ , 引いて $2$ となる $2$ つの数は, 冒頭の結果から暗算できるので,

$\cos 4x - \cos 2x \\ = \cos(3x + x) - \cos(3x -x)$

として, 後は上式を加法定理にもとづいて計算するだけである. 結果は,

$-2\sin3x \sin x$

となる.