陥没地帯 (237) - ノリの悪い日記

$2011$ 年東大文理共通問題. 要するに連分数に関係した問題である. $(2)$ は答が黄金比と白銀比に関連している. $(3)$ は有理数の連分数がユークリッド互除法と同値であることを示せばよい.

【問】
実数 $x$ の小数部分を, $0 \leq y < 1$ かつ $x - y$ が整数となる実数 $y$ のこととし, これを記号 $\langle x \rangle$ で表す. 実数 $a$ に対して, 無限数列 $\{a_n\}$ の各項 $a_n$ ( $n = 1, 2, 3, \cdots$ ) を次のように順次定める.

$(\mathrm{i})$ $a_1 = \langle a\rangle$
$(\mathrm{ii})$
$a_n \neq 0$ のとき, $\displaystyle{a_{n + 1} = \left\langle \frac{1}{a_n}\right\rangle}$
$a_n = 0$ のとき, $a_{n + 1} = 0$

$(1)$ $a = \sqrt{2}$ のとき, 数列 $\{a_n\}$ を求めよ.
$(2)$ 任意の自然数 $n$ に対して $a_n = a$ となるような $1/3$ 以上の実数 $a$ をすべて求めよ.
$(3)$ $a$ が有理数であるとする. $a$ を整数 $p$ と自然数 $q$ を用いて $a = p/q$ と表すとき, $q$ 以上のすべての自然数 $n$ に対して, $a_n = 0$ であることを示せ.

【解】
$(1)$
$a_1 = \langle \sqrt{2} \rangle = \sqrt{2}-\lfloor \sqrt{2} \rfloor =\sqrt{2} - 1$

$\begin{align} a_2 &= \left\langle \frac{1}{\sqrt{2} -1} \right\rangle\\ &= \langle \sqrt{2} + 1 \rangle\\ &= \langle \sqrt 2 \rangle\\ &= a_1 \end{align}$

したがって,

$a_n = \sqrt{2} - 1$

$(2)$
$a_1 = a - \lfloor a \rfloor = a$

から, $\lfloor a \rfloor = 0$ である. これと問題の条件から,

$\displaystyle{\frac{1}{3} \leq a < 1}$

となる. $n \geq 2$ のとき, $a \neq 0$ だから,

$\displaystyle{a_n = \frac{1}{a} - \left\lfloor \frac{1}{a} \right\rfloor = a}$

$\displaystyle{1 < \frac{1}{a} \leq 3}$

だから, $\displaystyle{\left\lfloor \frac{1}{a} \right\rfloor}$ は, $1$ または $2$ または $3$ である.

$\displaystyle{ \left\lfloor \frac{1}{a} \right\rfloor =1}$ のとき:
$\displaystyle{ \frac{1}{a} - 1 = a}$ と $\displaystyle{\frac{1}{3} \leq a < 1}$ を満足する解として,

$\displaystyle{ a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}}$

がある.

$\displaystyle{ \left\lfloor \frac{1}{a} \right\rfloor =2}$ のとき:
$\displaystyle{ \frac{1}{a} - 2 = a}$ と $\displaystyle{\frac{1}{3} \leq a < 1}$ を満足する解として,

$a = -1 + \sqrt{2}$

がある.

$\displaystyle{ \left\lfloor \frac{1}{a} \right\rfloor =3}$ のとき:

条件を満足する $a$ は存在しない.

以上から求める実数 $a$ は, 黄金比の小数部分 $(-1 +\sqrt{5})/2$ と白銀比の小数部分である $-1 + \sqrt{2}$ である.

$(3)$
ユークリッド互除法で, $p$ と $q$ の最大公約数を求めるためには以下のようにする. なお, $p$ を $r_0 = q$ で除した剰余を $r_1$ とおいて, 以下帰納的に $r_{i-1}$ を $r_i$ で除した剰余を $r_{i+1}$ とする.

$\begin{eqnarray} p &=& \lfloor p/r_0\rfloor r_0 + r_1 \\ r_0 &=& \lfloor r_0 /r_1 \rfloor r_1 + r_2\\ r_1 &=& \lfloor r_1 /r_2 \rfloor r_2 + r_3\\ &\cdots& \end{eqnarray}$
( $r_k = 0$ となれば停止し, $n \geq k$ で, $r_n = 0$ とする.)

このとき, $r_0 = q$ とし,

$(\mathrm{i})$ $b_1 = r_1/r_0$
$(\mathrm{ii})$
$b_{n} \neq 0$ のとき, $b_{n+1}= r_{n+1}/r_{n}$ ,
$b_{n} = 0$ のとき, $b_{n+1} = 0$

と, $b_n$ を定めることにすれば, $\{a_n\} = \{b_n\}$ であることを以下に帰納法で示す.

$n = 1$ のとき,

$p = \lfloor p/r_0\rfloor r_0 + r_1$

だから,

$\begin{align} b_1 &=r_1 /r_0 \\ &= p/q- \lfloor p/q\rfloor \\ &= a_1 \end{align}$

となって成立する.

$b_{n} = a_{n} = 0$ と仮定すると, $b_{n+1} = a_{n+1} = 0$ となって成立する.

$b_{n} = a_{n} \neq 0$ と仮定すると,

$r_{n-1} = \lfloor r_{n-1}/r_n \rfloor r_{n} + r_{n+1}$

だから,

$\begin{align} b_{n+1} &= r_{n+1}/r_{n} \\ &= r_{n-1}/r_{n} - \lfloor r_{n-1}/r_{n} \rfloor\\ &= 1/b_{n} - \lfloor 1/b_{n} \rfloor\\ &= 1/a_{n} - \lfloor 1/a_{n} \rfloor\\ &= a_{n+1} \end{align}$

となって成立する. 以上から, $\{a_n\} = \{b_n\}$ であることが示せた.

さて, ユークリッド互除法において,

$q = r_0 > r_1 > \cdots > r_k \geq 0$

のように, $\{r_k\}$ は, $r_k > 0$ である $k$ に対して真に減少していき, 最後は必ず $0$ に収束する. なぜなら, もし, $r_k$ が $0$ に到達しないのであれば, 互除法の手続きを無限に続けることができるが, それは $q$ が有限な自然数であることに矛盾するからである. 実際にはたかだか $q$ 回の手続きで, $r_q$ は $0$ となる. $r_q = 0$ のとき, $b_q = a_q = 0$ となり, $q$ 以上のすべての自然数 $n$ に対して, $a_n = 0$ である.
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