年東大文理共通問題. 要するに連分数に関係した問題である.
は答が黄金比と白銀比に関連している.
は有理数の連分数がユークリッド互除法と同値であることを示せばよい.
【問】
実数 の小数部分を,
かつ
が整数となる実数
のこととし, これを記号
で表す. 実数
に対して, 無限数列
の各項
(
) を次のように順次定める.
のとき,
のとき,
のとき, 数列
を求めよ.
任意の自然数
に対して
となるような
以上の実数
をすべて求めよ.
が有理数であるとする.
を整数
と自然数
を用いて
と表すとき,
以上のすべての自然数
に対して,
であることを示せ.
【解】
したがって,
から, である. これと問題の条件から,
となる. のとき,
だから,
だから, は,
または
または
である.
のとき:
と
を満足する解として,
がある.
のとき:
と
を満足する解として,
がある.
のとき:
条件を満足する は存在しない.
以上から求める実数 は, 黄金比の小数部分
と白銀比の小数部分である
である.
ユークリッド互除法で, と
の最大公約数を求めるためには以下のようにする. なお,
を
で除した剰余を
とおいて, 以下帰納的に
を
で除した剰余を
とする.
( となれば停止し,
で,
とする.)
このとき, とし,
のとき,
,
のとき,
と, を定めることにすれば,
であることを以下に帰納法で示す.
のとき,
だから,
となって成立する.
と仮定すると,
となって成立する.
と仮定すると,
だから,
となって成立する. 以上から, であることが示せた.
さて, ユークリッド互除法において,
のように, は,
である
に対して真に減少していき, 最後は必ず
に収束する. なぜなら, もし,
が
に到達しないのであれば, 互除法の手続きを無限に続けることができるが, それは
が有限な自然数であることに矛盾するからである. 実際にはたかだか
回の手続きで,
は
となる.
のとき,
となり,
以上のすべての自然数
に対して,
である.
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