陥没地帯 (228) - ノリの悪い日記

双曲線関数 $\cosh x$ , $\sinh x$ は, オイラーの公式と似ている,

$\begin{align} e^x &= \cosh x + \sinh x\\ e^{-x} &= \cosh x - \sinh x \end{align}$

で定義された関数である. $\tanh x$ は,

$\displaystyle{\tanh x = \frac {\sinh x}{\cosh x}}$

で定義される.

$\displaystyle{ \cosh^2 x - \sinh^2 x\\= (\cosh x + \sinh x)(\cosh x - \sinh x) \\ = e^xe^{-x} \\ = 1 }$

である. これから,

$\displaystyle{ 1 - \tanh ^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x} }$

もすぐにわかる. 後は双曲線関数の加法定理,

$\displaystyle { \sinh(\alpha \pm \beta) \\= \sinh \alpha \cosh \beta \pm \cosh \alpha \sinh \beta}$

$\displaystyle { \cosh(\alpha \pm \beta) \\= \cosh \alpha \cosh \beta \pm \sinh \alpha \sinh \beta}$

で, $\cosh(\alpha + \beta)$ の符号が三角関数と違うことだけ覚えておけばよい. その他の公式は, 三角関数同様, すべてこれらから導ける.

微分は実際に計算すれば,

$\begin{align} (\cosh x)' &= \sinh x \\ (\sinh x)' &= \cosh x\\ (\tanh x)' &= \frac{1}{\cosh^2 x} \end{align}$

となる, 双曲線関数が全単射となるよう,

$\sinh(x) : \mathrm{R} \rightarrow \mathrm R$
$\cosh(x) : [0, \infty) \rightarrow [1,\infty)$
$\tanh(x): \mathrm{R} \rightarrow(-1,1)$

とすれば, 逆関数 $\mathrm{arsinh }(y)$ , $\mathrm{arcosh}(y)$ , $\mathrm{artanh} (y)$ を定めることができる.

逆関数 $x = \mathrm{arsinh}\ y$ の微分を求めておくと, $y = \sinh x$ として, $\cosh x > 0$ に注意して,

$\begin{align} \frac{dx}{dy}&= \frac{1}{\cosh x} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2 x}}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1+y^2}} \end{align}$

したがって,

$\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}dt = \mathrm{arsinh}\ t + C}$

となる.

$\displaystyle{y = \frac{1}{2}( e^x - e^{-x})}$

から,

$(e^x)^2 - 2ye^x -1 = 0$

となり, $e^x > 0$ から,

$e^x = y + \sqrt{1+y^2}$

となる. したがって,

$x = \mathrm{arsinh}\ y = \log \left(y + \sqrt{1+ y^2}\right)$

なので,

$\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{1+t^2}}dt = \log \left(t + \sqrt{1+t^2}\right) + C}$

という, 自然に憶えてしまう積分結果となる. さらに,

$\displaystyle{ \left(t\sqrt{1+t^2} + C\right)' \\= \sqrt{1+ t^2} + \frac{t^2}{\sqrt{1+t^2}} \\= \sqrt{1+ t^2} + \frac{1+t^2}{\sqrt{1+t^2}}-\frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \\= 2\sqrt{1+t^2} -\frac{1}{\sqrt{1+t^2}} }$

から,

$\displaystyle{ \sqrt{1+t^2} \\= \left \{\frac{1}{2} \left(t\sqrt{1+ t^2} + \mathrm{arsinh}\ t \right) + C\right \}'}$

なので,

$\displaystyle{ \int \sqrt{1+t^2} dt\\= \frac{1}{2}\left( t\sqrt{1+ t^2} + \log\left(t + \sqrt{1+t^2}\right) \right) \\\quad+ C}$

となる.

次に, 逆関数 $x = \mathrm{arcosh}\ y$ の微分を求めておくと, $y = \cosh x$ の定義域において, 導関数の定義域は開区間で考えることから*1, $x > 0$ のとき, $\sinh x > 0$ であることに注意すると,

$\begin{align} \frac{dx}{dy}&= \frac{1}{\sinh x} \\ &= \frac{1}{\sqrt{ \cosh^2 x -1 }}\\ &= \frac{1}{\sqrt{y^2 - 1}} \end{align}$

したがって,

$\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{t^2 - 1}}dt = \mathrm{arcosh}\ t + C}$

となる.

$\displaystyle{y = \frac{1}{2}( e^x + e^{-x})}$

から,

$(e^x)^2 - 2ye^x + 1 = 0$

となり, $x \geq 0$ から,

$e^x = y + \sqrt{y^2 -1}$

となる. したがって,

$x = \mathrm{arcosh}\ y = \log \left(y + \sqrt{y^2 - 1}\right)$

なので,

$\displaystyle{ \int \frac{1}{\sqrt{t^2 - 1}}dt = \log \left(t + \sqrt{t^2 - 1}\right) + C}$

( $t \geq 1$ )

という, 結果となる.

*1:微分係数 $f'(x)$ は, 左微分係数と右微分係数の両方の微分係数が存在して, かつ一致する場合, つまり $f'(x+ 0) = f'(x -0)$ の場合のみ存在する. したがって， $f (x)$ の定義域が閉区間の場合，その端点で $f(x)$ は微分可能ではない. 一方, 閉区間 $[a,b]$ の関数 $f(x)$ の連続は, 端点 $a$ , $b$ については, $\displaystyle{\lim_{x \to a + 0} f(x)= f(a)}$ (右連続), $\displaystyle{\lim_{x \to b - 0} f(x)= f(b)}$ (左連続) を充せばよい. 高校数学ではこういう扱いになっている.