ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (227)

逆関数の積分というのは, 次のようなからくりになっている.

求める逆関数の積分を

 \displaystyle{I = \int f^{-1}(y)dy}

とする.  x = f^{-1}(y) で置換積分することを考える. すると,  y= f(x) だから,

 dy = f'(x)dx

であり, したがって,

 \displaystyle{I = \int xf'(x)dx}

となる. これを部分積分すると,

 \displaystyle{I = xf(x) - \int f(x)dx}

となる. (定積分で面積計算するときなど, この式が役立つことがある. 図形的意味は明らかだろう.)

 \begin{eqnarray}
xf(x) &=& f^{-1}(y)\cdot f(f^{-1}(y)) \\
         &=& yf^{-1}(y)
\end{eqnarray}

であり, さらに,

 \displaystyle{\int f(x)dx}

を原始関数  F(x) で表わすことにすると,

 \displaystyle{ I = y f^{-1}(y) - F\left(f^{-1}(y) \right) + C}

を得る.

たとえば,  y = e^x ( y > 0) を考えると,  F(x) = e^x で, 逆関数は,  x = \log y なので,

 \begin{eqnarray}
\int \log ydy &=& y \log y - e^{\log y} + C \\ &=& y \log y - y + C
\end{eqnarray}

となる. 前の記事の最後の例では,

 \displaystyle {\int \tan x dx =  - \log |\cos x| + C}

を求めておいて,

 \displaystyle{
\int \arctan ydy \\= y \arctan y + \log  |\cos (\arctan y) | + C \\ = y \arctan y - \frac{1}{2} \log (y^2 + 1) + C }

となる.  \cos(\arctan y) の部分は, 図形をイメージすればすぐにわかる.
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