陥没地帯 (227) - ノリの悪い日記

逆関数の積分というのは, 次のようなからくりになっている.

求める逆関数の積分を

$\displaystyle{I = \int f^{-1}(y)dy}$

とする. $x = f^{-1}(y)$ で置換積分することを考える. すると, $y= f(x)$ だから,

$dy = f'(x)dx$

であり, したがって,

$\displaystyle{I = \int xf'(x)dx}$

となる. これを部分積分すると,

$\displaystyle{I = xf(x) - \int f(x)dx}$

となる. (定積分で面積計算するときなど, この式が役立つことがある. 図形的意味は明らかだろう.)

$\begin{eqnarray} xf(x) &=& f^{-1}(y)\cdot f(f^{-1}(y)) \\ &=& yf^{-1}(y) \end{eqnarray}$

であり, さらに,

$\displaystyle{\int f(x)dx}$

を原始関数 $F(x)$ で表わすことにすると,

$\displaystyle{ I = y f^{-1}(y) - F\left(f^{-1}(y) \right) + C}$

を得る.

たとえば, $y = e^x$ ( $y > 0$ ) を考えると, $F(x) = e^x$ で, 逆関数は, $x = \log y$ なので,

$\begin{eqnarray} \int \log ydy &=& y \log y - e^{\log y} + C \\ &=& y \log y - y + C \end{eqnarray}$

となる. 前の記事の最後の例では,

$\displaystyle {\int \tan x dx = - \log |\cos x| + C}$

を求めておいて,

$\displaystyle{ \int \arctan ydy \\= y \arctan y + \log |\cos (\arctan y) | + C \\ = y \arctan y - \frac{1}{2} \log (y^2 + 1) + C }$

となる. $\cos(\arctan y)$ の部分は, 図形をイメージすればすぐにわかる.
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