ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (232)

高校数学整数問題

気分を変えて, 過去の大学入試問題から.

【問】
$a$ , $m$ は自然数で $a$ は定数とする. $xy$ 平面上の点 $(a, m)$ を頂点とし, 原点と点 $(2a, 0)$ を通る放物線を考える. この放物線と $x$ 軸で囲まれる領域の面積を $S_m$ , この領域の内部および境界線上にある格子点の数を $L_m$ とする. このとき極限値

$\displaystyle{\lim_{m \to \infty} \frac{L_m}{S_m}}$

を求めよ. ただし $xy$ 平面上の格子点とは, その点の $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数となる点のことである.

【解】
都合により, ガウス記号を $\lfloor x \rfloor$ のように書くことにする.

題意を満たす放物線を

$y = px(x - 2a)$ $(p \neq 0)$

とおくと,

$m = pa(a - 2a)$

から, $p = -m/a^2$ となって, 放物線は,

$\displaystyle{y = - \frac{m}{a^2}x(x - 2a)}$

として定まる. これから,

$\begin{align} S_m &= \frac{m}{6a^2}(2a)^3 \\ &= \frac{4}{3}ma \end{align}$

となる.

$x = k$ ( $0 \leq k \leq 2a$ , $k$ は整数) 上の領域内または境界線上の格子点の数を $n_k$ とし,

$\displaystyle{s_k = - \frac{m}{a^2}k(k - 2a)}$

とおけば、

$\displaystyle{n_k = \lfloor s_k \rfloor + 1}$

であり,

$\displaystyle{L_m = \sum_{k= 0}^{2a} n_k}$

と表せる.

$\begin{align} \sum_{k = 0}^{2a} s_k &= \sum_{k = 1}^{2a} s_k \\ &= - \frac{m}{a^2} \sum_{k = 1}^{2a} k(k - 2a) \end{align}$

途中の計算は省略して,

$\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{2a} s_k = \frac{m}{3}\left(4a - \frac{1}{a}\right)}$

となる.

$s_k < n_k \leq s_{k}+ 1$

だから,

$\displaystyle{\sum_{k = 0}^{2a} s_k < L_m \leq \sum_{k = 0}^{2a} (s_{k}+ 1)}$

したがって,

$\displaystyle{\frac{m}{3}\left(4a - \frac{1}{a}\right) < L_m \leq \frac{m}{3}\left(4a - \frac{1}{a}\right) \\+ 2a +1}$

これから,

$\displaystyle{1 - \frac{1}{4a^2}< \frac{L_m}{S_m} \leq 1 - \frac{1}{4a^2} + \frac{3(2a+1)}{4am}}$

となる.

$\displaystyle{\lim_{m \to \infty} \frac{3(2a+1)}{4am} = 0}$

だから,

$\displaystyle{\lim_{m \to \infty} \frac{L_m}{S_m} = 1-\frac{1}{(2a)^2}}$

となる.
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※ 自分も高校生だった頃, 考えたことがあるのを覚えているが, 極限概念が曖昧だと, 上のはさみうちの式で, 不等号についた等号のあるなしが気になるものである. 似たような例として,

$\lfloor 0.999\cdots \rfloor = 1$

が正しいというのがある.
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※ 「はさみうち」などによく使われる便利な不等式を証明しておく.

実数 $h > 0$ , 任意の自然数 $n$ に対して

$(1 + h)^n \geq 1 + nh$

[証明]
$n = 1$ のときには, 明らか.
$n = k$ のとき真であると仮定すれば,

$\begin{align} (1 + h)^{k+1} &= (1 + h)^k(1 + h)\\ &\geq (1 + kh)(1 + h)\\ &= 1 + (k + 1)h + kh^2\\ &> 1 + (k + 1)h \end{align}$

よって,

$(1 + h)^{k+1} \geq 1 + (k + 1)h$
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これを使った例として,

$a_n = 0.99\cdots 9$ ( $9$ が $n$ 個, $n$ は自然数)

とおく. そうすると,

$\displaystyle{1 - a_n = \frac{1}{10^n}}$

である.

$\begin{align} 10 ^ n &= (1 + 9)^n \\ &\geq 1 + 9n \\ &> n \end{align}$

つまり,

$\displaystyle{0 < \frac{1}{10^n} < \frac{1}{n}}$

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0}$

したがって,

$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} (1 - a_n) = 0}$
$\displaystyle{\lim_{n \to \infty} a_n = 1}$

が証明された. //