ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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場合分け

高校数学論理

ここでは, 線型代数の知識を用いることなしに, $2$ 直線

$l_1: \ ax + by + h =0$
$l_2: \ cx + dy + k = 0$

が平行となる条件を求めてみる.

上の $2$ つの方程式が直線を表わす条件は,

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} (a \neq 0) \vee (b \neq 0)\\ (c \neq 0) \vee (d \neq 0)\\ \end{array}\right.}$

※ 中括弧 $\{$ は「かつ」を意味する.

ここで,

$(a \neq 0) \vee (b \neq 0) \\ \iff (a \neq 0) \vee ( (a = 0) \wedge (b \neq 0) )$

$(c \neq 0) \vee (d \neq 0) \\ \iff (c \neq 0) \vee ( (c = 0) \wedge (d \neq 0) )$

だから, 次のように場合分けすると, すべての場合を排他的に場合分けできる.

$\displaystyle{\left| \begin{array}{l} (a \neq 0) \wedge (c \neq 0)\\ (a = 0)\wedge (b \neq 0) \wedge (c \neq 0)\\ (a \neq 0) \wedge (c = 0 ) \wedge (d \neq 0)\\ (a = 0) \wedge (b \neq 0) \wedge (c=0)\wedge (d \neq 0)\\ \end{array}\right.}$

※ 縦線 $|$ は「または」を意味する.

A) $a \neq 0, \ c \neq 0$ のとき:

$x$ について解いて,

$\displaystyle{ l_1 \parallel l_2 \\ \iff - \dfrac{b}{a} = - \dfrac{d}{c} \\ \iff ad = bc}$

である.

B) $a = 0, \ b \neq 0,\ c \neq 0$ のとき:

このとき, $ad \neq bc$ となる.

$l_1$ は,

$y = -\dfrac{h}{b}$

となって, $x$ 軸に平行である.

$l_2$ は,

$x = -\dfrac{d}{c}y - \dfrac{k}{c}$

となり, $x$ 軸に平行とはならない.

したがって, この場合,

$\displaystyle{ l_1 \nparallel l_2 \iff ad \neq bc}$

※ $A = (a = 0)\wedge (b \neq 0) \wedge (c \neq 0)$ とすると,

$A \Rightarrow (l_1 \nparallel l_2)$
$A \Rightarrow (ad \neq bc)$

だから,

$A \wedge (l_1 \nparallel l_2) \iff A$
$A \wedge (ad \neq bc) \iff A$

したがって,

$A \wedge (l_1 \nparallel l_2) \iff A \wedge (ad \neq bc)$

となる. $A$ をいちいち書くのは煩わしいので, 大前提として省略しているのである.//

対偶を取れば, 同値な命題の否定はまた同値であるとすぐにわかる. 否定したものを再び大前提で制限して,

$\displaystyle{ l_1 \parallel l_2 \iff ad = bc}$

C) $a \neq 0,\ c = 0,\ d \neq 0$ の場合:

先程の B) の場合と同様に議論できる.

D) $a = 0, \ b \neq 0, \ c=0, \ d \neq 0$ の場合:

$l_1$ は, $y = -\dfrac{h}{b}$ ,
$l_2$ は, $y = -\dfrac{k}{d}$

となり, $2$ 直線は平行である.

また, このとき $ad = bc$ が成立.

したがって,

$\displaystyle{ l_1 \parallel l_2 \iff ad = bc}$

以上 A), B), C), D)より,

$\displaystyle{ l_1 \parallel l_2 \iff ad = bc}$

である.