数列の問題 - ノリの悪い日記

小さいときに見たテレビ番組を大人になって再び見て郷愁を感じることはあっても, 作品として面白いと思うことはない. しかし, 白土三平『サスケ』のテレビアニメーションは唯一の例外である. これとても傑作というほどではないが, 1960 年代の子供向けテレビとは思えないものに仕上がっていて, いま見てもじゅうぶん鑑賞に耐えるのが不思議である. もっとも, 白土三平であれば『忍者武芸帳』のような漫画の方がはるかに面白い.

横浜国大, 理系の 2017 年の数列の問題を解いてみたのであげておく.

【解】
(1)
$a_1 = 1$
$b_1 = 2$
$\displaystyle{a_2 = a_1 - \frac{1}{b_1 }= 1- \frac{1}{2} = \frac{1}{2}}$
$b_2 = 3$
$\displaystyle{a_3 = a_2 - \frac{1}{b_2} = \frac{1}{2} -\frac{1}{3} = \frac{1}{6}}$
$b_3 = 7$

(2)
$\displaystyle{\frac{1}{a_n}}$ が自然数であることを帰納法によって証明する.

$n = 1$ のとき, $\displaystyle{\frac{1}{a_1} = 1}$ より成立.
$n = k$ のとき, $\displaystyle{\frac{1}{a_k}}$ が自然数であると仮定すると,

$\displaystyle{b_k = \frac{1}{a_k} + 1= \frac{a_k +1}{a_k} }$ である.

$\displaystyle{a_{k +1} \\= a_k - \frac{1}{b_k} \\ = a_k - \frac{a_k}{a_k+1} \\= \frac{a_k^2}{a_k + 1} }$

したがって,

$\displaystyle{\frac{1}{a_{k +1}} \\= \frac{a_k + 1}{a_k^2} \\= \frac{1}{a_k} + \left( \frac{1}{a_k}\right)^2 }$

$\displaystyle{ \frac{1}{a_k}}$ , $\displaystyle{ \left(\frac{1}{a_k}\right)^2}$ が自然数なので, $\displaystyle{\frac{1}{a_{k+1}}}$ は自然数で, $\displaystyle{\frac{1}{a_n}}$ が自然数であることが証明できた.

再び帰納法により,

$n = 1$ のとき, $b_1a_2 = 1$

$n =k$ のとき, $b_1b_2\cdots b_ka_{k+1} = 1$ を仮定する.

$n = k+1$ のとき,
$\displaystyle{b_1b_2\cdots b_{k+1}a_{k+2} \\=b_1b_2\cdots b_{k+1}\left(a_{k+1} - \frac{1}{b_{k+1}}\right) \\= b_1b_2\cdots b_k( a_{k+1}b_{k+1} - 1) \\= b_1b_2\cdots b_ka_{k+1} \\=1}$