ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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共通テストから

高校数学論理

数 1A の共通テスト問題 (2022 年) は整数解の問題はやった記憶はあるが, 他の問題もやったので一部をあげておく.

(1) $p = 4$ , $q = -4$ のとき $n = 3$ , $p = 1$ , $q = -2$ のとき $n = 2$

(2)
$f(x) = x^2 -6x +q$
$g(x) = x^2 + qx -6$

とおき, $f(x) = 0$ , $g(x) = 0$ のただひとつの共通実解を $a$ とするならば,

$\begin{align} g(a) - f(a) &= (q+6)(a-1)\\ &=0 \end{align}$

を満たす. $q = -6$ のとき, $f(x) \equiv g(x)$ (多項式として等しい) となり, 重解も持たないので $a$ はただ一つの共通実解ではない. したがって $q \neq -6$ であり, これから, $a = 1$ を必要条件としてよい. $a = 1$ のとき, $f(1) = 0$ から $q = 5$ となる. 解と係数の関係により, $f(x) = 0$ の他解は $5$ , $g(x) = 0$ の他解は $-6$ であり, $n =3$ となる.

次に $f(x)= 0$ が重解を持つ場合は,

$D/4 = 9 -q =0$

から, $q = 9$ で, このとき $g(x)$ は異なる $2$ 実解を持ち, また $f(x) = 0$ と $g(x) =0$ は共通実解も持たないので, $n = 3$ となる. //

(3)
$\begin{align} y &= x^2 - 6x + q\\ &= (x-3)^2 + q -9\\ \end{align}$

つまり,

$y-q + 9 = (x-3)^2$

したがって, グラフは $y$ 軸正の方向に移動する (6 番).

$\begin{align} y &= x^2 +qx -6\\ &= (x+q/2)^2 - q^2/4 -6\\ \end{align}$

つまり,

$y + q^2/4 + 6 = (x+q/2)^2$

したがって, グラフは $x$ 軸負の方向, かつ $y$ 軸負の方向に移動する (1 番).

(4)
$Q = \{q \in U| \ 5< q <9\}$

とする. 集合 $A$ , $B$ はそれぞれ

$A = \{x|\ \exists q \in Q; \ x^2 -6x + q < 0\}$

$B = \{x|\ \exists q \in Q; \ x^2 + qx -6 < 0\}$

の意味だと解釈する.

$f(x) = x^2 -6x +q$
$g(x) = x^2 + qx -6$

とおくと, $\forall q \in Q$ で,

$f(1) = g(1) = q-5 > 0$

$f (x)$ の軸の位置は $x = 3>1$ で,

$f(3) = q -9 < 0$

$g (x)$ の軸の位置は $x = -q/2 < 1$ で,

$g(-q/2) = -q^2/4-6 < 0$

が成立する. したがって

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} A \cap B = \emptyset\\ A \neq \emptyset \\ B \neq \emptyset\\ \end{array}\right.}$

であることから, $x \in A$ は $x \in B$ であるための必要条件でも十分条件でもない.

また

$\forall x \in U [x \in B \Rightarrow x \notin A]$

であるから, $x \in B$ は $x \in \overline A$ であるための十分条件であるが, 必要条件ではない (反例, $x = 1$ )
//