2次方程式の解の配置 - ノリの悪い日記

前の記事の続き. 今度はグラフを移動しないやり方で, いままでの解法を整理しておく. 下の二つの問題が解ければ, 他の問題もさして難しくないだろう.

【問】
$2$ 次方程式 $x^2 -2ax+4a -9 = 0$ の異なる実数解のうち, ただ $1$ つが, $0 < x < 4$ の範囲にあるような定数 $a$ の範囲を求めよ.

【解】
問題で $a$ の範囲といっているのは, $a$ の必要十分条件のことである.

$f(x) = x^2-2ax + 4a -9$

とおき, $f(x)= 0$ の解を $\alpha$ , $\beta$ ( $\alpha < \beta$ ) とする.

$f(0)f(4) < 0$ ならば, $0 < x < 4$ の範囲にただひとつの実数解を持つ. (逆は一般に成立しない. )

$\displaystyle{f(0)f(4) = (4a -9)(-4a + 7) < 0 \\ \iff \left(a < \frac{7}{4}\right) \vee \left(a > \frac{9}{4}\right)}$

次に, $f(0) = 0$ または $f(4) = 0$ となる場合を調べる. この場合, 異なる実数解を $2$ つ $0 < x < 4$ の範囲に持つ場合は存在しないことに注意する.

$f(0) = 0$ のとき, $\displaystyle{a = \frac{9}{4}}$ で, $\displaystyle{f(4) = -2}$ だから, $0 < x < 4$ の範囲に実数解は存在しない.

$f(4) = 0$ のとき, $\displaystyle{a = \frac{7}{4}}$ で, $\displaystyle{f(0) = -2}$ だから, $0 < x < 4$ の範囲に実数解は存在しない.

$f(0)f(4) > 0$ のとき, $0 < x < 4$ の範囲に実数解は存在しないか, 異なる実数解の両方が存在する.

以上より, 求める $a$ の必要十分条件は,

$\displaystyle{a < \frac{7}{4}, \ a > \frac{9}{4}}$

である.
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【問】
$2$ 次方程式 $x^2 -2mx-m+6 = 0$ が, $1 < x < 3$ の範囲に少なくとも $1$ つの実数解を持つような定数 $m$ の範囲を求めよ.

【解】
$f(x) = x^2-2mx -m +6$

とおき, $f(x)= 0$ の解を $\alpha$ , $\beta$ ( $\alpha \leq \beta$ ) とする.

実数解が $1 < x < 3$ にひとつも存在しない解の配置は,

$\text{i)}$ $\alpha \leq 1 < 3 \leq \beta$
$\text{ii)}$ $\alpha \leq \beta \leq 1 < 3$
$\text{iii)}$ $1 < 3 \leq \alpha \leq \beta$

であり,

$\displaystyle{ \frac{\alpha + \beta}{2} = m}$
$f(x) =(x - \alpha)(x - \beta)$
$f(1) = 7-3m$
$f(3) = 15-7m$

として,

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}f(1)\leq 0\\ f(3) \leq 0\\\end{array}\right. \vee \left\{\begin{array}{l} (m \geq 3)\vee(m \leq 1)\\f(1) \geq 0\\f(3) \geq 0\\\end{array} \right. \\ \iff \left(m \geq \frac{7}{3}\right) \vee (m \leq 1)}$

上記の否定をとって

$\displaystyle{1< m < \frac{7}{3}}$

$\displaystyle{(D \geq 0) \wedge \left(1< m < \frac{7}{3}\right) \\ \quad \iff 2 \leq m < \frac{7}{3} }$

以上より, 求める $a$ の必要十分条件は,

$\displaystyle{2 \leq m < \frac{7}{3}}$

である.
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※ 以下は, 解の配置の基本問題である.

【問】
$ax^2+(1-5a)x+6a = 0$ の $2$ 解 (重解含む) がともに $1$ より大きいための条件を求めよ.

【解】
$2$ 解をもつので, $a \neq 0$ としてよい.

$\displaystyle{x^2 +\left(\frac{1}{a}-5\right)x+6 = 0}$

として, $\displaystyle{2b = - \frac{1}{a}+5}$ とおけば,

$x^2 -2bx+6 = 0$

$2$ 解 (重解含む) がともに $1$ より大きいための必要十分条件は,

$\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} D \geq 0\\ b > 1\\ f(1) > 0\\\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l} b^2 -6 \geq 0\\ b > 1\\ b < \dfrac{7}{2}\\ \end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l} (b \geq \sqrt{6}) \vee (b \leq -\sqrt{6}) \\1< b < \dfrac{7}{2}\\ \end{array}\right. \\ \iff 2\sqrt{6} \leq 2b < 7 }$

これから,

$\displaystyle{ 2\sqrt{6} \leq - \dfrac{1}{a}+5 < 7\\ \\ \iff -2 < \dfrac{1}{a} \leq 5-2\sqrt{6}\\ \\ \iff \left\{\begin{array}{l} a \neq 0\\ a(2a+1) >0 \\ a\{(5-2\sqrt{6})a-1\} \geq 0\\ \end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l} a(2a+1) >0 \\ a\{(5-2\sqrt{6})a-1\} \geq 0\\ \end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l} (a>0) \vee \left(a < - \dfrac{1}{2}\right) \\ (a \geq 5 + 2\sqrt{6}) \vee \left(a \leq 0\right)\\ \end{array}\right. \\ \iff \left(a < - \frac{1}{2}\right) \vee (a \geq 5 + 2\sqrt{6}) \\ }$

以上より, 求める必要十分条件は,

$\displaystyle{ a \lt -\frac{1}{2}}$ または $\displaystyle{\ a \geq 5 + 2 \sqrt{6}}$
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