ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

不等式の整数解

いつの頃からこの種の問題を扱うようになったか知らないが, 数 I の不等式のところで, 整数解を何個持つ云々という類いの問題があるのだが, そこに挙げられている解法については唖然とした. こんな風に解かないといけないものなのだろうか. 自分にはとても真似できない複雑さである. ということで, 少し自分なりに解いてみる. なお,  a < x の論理的否定は, a \geq x であるといったようなことぐらいは使わせてもらう.

【問1】
不等式  2a < x < a +3 を満たす整数  x 4 だけであるとき, 定数  a の範囲を求めよ.

【解】
 3 \leq 2a < 4 < a + 3 \leq 5

であればよい.

\displaystyle{\left\{
\begin{array}{l}
\dfrac{3}{2} \leq a\\
a < 2\\
a > 1\\
a \leq 2\\
 \end{array}\right.}

より求める a の範囲は,

 \displaystyle{\frac{3}{2} \leq a < 2}

である.//

【問 2】
a は定数とする. 2 つの不等式

3x+ 5 > 5x-1,
5x+2a>4-x

を同時に満たす整数 x が存在し, かつそれが自然数のみになるとき,  a の値の範囲を求めよ.

【解】
与えられた二つの不等式を整理して,

\dfrac{2-a}{3} < x < 3

問題の条件は次と同値である.

\displaystyle{
0 \leq \dfrac{2-a}{3} <  2}

以上より,

 -4 < a \leq 2

である.//

【問 3】
不等式 7x -7 \leq x-6 \leq 3x+a を満たす  x の整数値が 6 個のとき, 定数 a の値の範囲を求めよ.

【解】
与式を整理して,

-\dfrac{a+6}{2} \leq x \leq \dfrac{1}{6}

問題の条件より,

-6 < -\dfrac{a+6}{2} \leq -5

これから,

 4 \leq a <6

【問 4】
不等式  2|x-a| < x + 1 を満たす  x の整数値が 5 個存在するとき, 整数 a の値を求めよ.

【解】
与式から,

 |2||x-a| < x + 1
\\ |2(x-a)| < x + 1
\\-(x+1) < 2(x-a) < x +1
\\ \dfrac{2a-1}{3} < x < 2a + 1

 a は整数だから,  2a + 1 も整数. したがって,

  2a -5 \leq \dfrac{2a-1}{3} < 2a-4

を充たせばよい. 上式から,

 \dfrac{11}{4} < a \leq \dfrac{7}{2}

したがって,

 a = 3