ノリの悪い日記

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不等式の整数解

高校数学

いつの頃からこの種の問題を扱うようになったか知らないが, 数 $I$ の不等式のところで, 整数解を何個持つ云々という類いの問題があるのだが, そこに挙げられている解法については唖然とした. こんな風に解かないといけないものなのだろうか. 自分にはとても真似できない複雑さである. ということで, 少し自分なりに解いてみる. なお, $a < x$ の論理的否定は, $a \geq x$ であるといったようなことぐらいは使わせてもらう.

【問1】
不等式 $2a < x < a +3$ を満たす整数 $x$ が $4$ だけであるとき, 定数 $a$ の範囲を求めよ.

【解】
$3 \leq 2a < 4 < a + 3 \leq 5$

であればよい.

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{3}{2} \leq a\\ a < 2\\ a > 1\\ a \leq 2\\ \end{array}\right.}$

より求める $a$ の範囲は,

$\displaystyle{\frac{3}{2} \leq a < 2}$

である.//

【問 2】
$a$ は定数とする. $2$ つの不等式

$3x+ 5 > 5x-1$ ,
$5x+2a>4-x$

を同時に満たす整数 $x$ が存在し, かつそれが自然数のみになるとき, $a$ の値の範囲を求めよ.

【解】
与えられた二つの不等式を整理して,

$\dfrac{2-a}{3} < x < 3$

問題の条件は次と同値である.

$\displaystyle{ 0 \leq \dfrac{2-a}{3} < 2}$

以上より,

$-4 < a \leq 2$

である.//

【問 3】
不等式 $7x -7 \leq x-6 \leq 3x+a$ を満たす $x$ の整数値が $6$ 個のとき, 定数 $a$ の値の範囲を求めよ.

【解】
与式を整理して,

$-\dfrac{a+6}{2} \leq x \leq \dfrac{1}{6}$

問題の条件より,

$-6 < -\dfrac{a+6}{2} \leq -5$

これから,

$4 \leq a <6$

【問 4】
不等式 $2|x-a| < x + 1$ を満たす $x$ の整数値が $5$ 個存在するとき, 整数 $a$ の値を求めよ.

【解】
与式から,

$|2||x-a| < x + 1 \\ |2(x-a)| < x + 1 \\-(x+1) < 2(x-a) < x +1 \\ \dfrac{2a-1}{3} < x < 2a + 1$

$a$ は整数だから, $2a + 1$ も整数. したがって,

$2a -5 \leq \dfrac{2a-1}{3} < 2a-4$

を充たせばよい. 上式から,

$\dfrac{11}{4} < a \leq \dfrac{7}{2}$

したがって,

$a = 3$