年京大乙理系の問題. 同一法でも記事 で触れた内容が示せるという, とても面白い問題である. これは幾何の問題として, 国際的にみても, 歴史的にみても恥ずかしくないレベルにあると思う. ちなみに, 年の数学オリンピックは, 日本は国別順位 位だったんだな…

「 のそれぞれの内角の 等分線の交点のうち, 辺に近い 点を結んでできる三角形は正三角形である」という, 名高いモーリーの定理. 日本では, 年頃によく知られるようになり, 林鶴一が 年に, フランク・モーリーから林宛の書簡を添えて紹介記事を書いているの…

年のセンター試験の問題. ジェルゴンヌ点が出てくるのでとりあげてみた. ナーゲル点とジェルゴンヌ点は, 等距離共役点である.【問】 【解】 とおく. 内接円の半径を とすれば,だから, から,, は, ジェルゴンヌ点で, は内接円と の接点である.接弦定理から, …

すでに触れた内容もあるが, 傍心に関する基本事項がややこしいので, まとめておく.三角形 の頂点 の外角 の 等分線と頂点 の外角 の 等分線の交点を とする. から に垂線を下ろし, その足を とする. また, から直線 , に下ろしたそれぞれの垂線の足をあらた…

三角形の外心と垂心は等角共役点である.【問】 の内心を , 外心を , 垂心を とするとき, の面積を求めよ.【解】 の内接円の半径を とし, 外接円の半径を とする. から に下ろした垂線の足を とし, 垂線が円と交わる点を とする. から , から , から に下ろし…

年の東京大学, 文理共通問題. 中学受験の問題にそのままなりそうである.【問】 【解】 メネラウスの定理から,したがって,これから,同様にして,したがって,以上より, の面積と の面積の比は, である. //【別解】 したがって, あとは同じである. //

「清宮の定理」の証明. 証明法は直前の記事の「ターナーの定理」の証明とほぼ同じである. *1【定理】 の外接円上の 点を , とし, 辺 , , に関する点 の対称点をそれぞれ , , とする. 直線 , , が , , と交わる点をそれぞれ , , とすると, 点 , , は 直線上に…

「発見的研究法」と副題がついている清宮俊雄の著書『幾何学』にあるターナーの定理の証明. 「清宮の定理」は, 直前の記事にあるようにターナー (Turner) の定理の拡張によって得られたとされている.【定理】 の外接円 に関してたがいに反転をなす 点を , と…

シムソン線をなす点 , , を点 を相似の中心として 倍の相似比で相似変換した点 , , を結んだ直線をスタイネル (シュタイナー) 線という. なぜ, シムソン線を相似変換しただけの直線に名前がついているかというと, この直線は, 直前の記事で示した の垂心を通…

シムソンの定理の初等幾何による証明が出てきたのでスタイネル (Steiner) の定理の初等幾何による証明もみておく.【定理】 の垂心を とし, 外接円周上の 点を とすると, 点 の に関するシムソン線は線分 の中点を通る.【証明】最初に記号の定義をする.シムソ…

年センター試験, 数学 追試験から. 最初はシムソン線の証明. なお, 記事 には複素平面を使ったシムソンの定理とスタイネルの定理の証明をあげておいた.【問】 【解】 ※ で, から証明してもよい.// が直角のとき, 四辺形 は長方形. が円 の直径になるとき, か…

年, 京都大学の問題.【問】 【解】 図を描いてみれば, すぐにわかるように, 外心は で, 外接円の半径は, である ( が にあるときは正三角形である). 点 の座標を とおく. また, 垂心 の座標を とおく. は, から, へ下ろした垂線上にあるから, のとき, 垂心は…

年の慶應義塾大学予科の入試問題. 清々しいなあ.【問】 直角三角形 の直角頂 より斜辺に下せる垂線の足を とせば なることを証せよ.【解】 の外接円を とし, の外接円を とする. つの円, , は直交しているから, は の接線であり, また は の接線である. した…

共通テスト, 数 から.【問】 【解】 から,したがって, について恒等的に成り立ち, より,, したがって, したがって, 公比が よりも大きい等比数列である.したがって, が条件をみたす等比数列であるためには, で つまり, かつ したがって, をみたすことが必要…

年共通テスト, 数学 から. 黄金比 (この問題では ) を使って計算を効率よくやることについては, 記事 で触れておいた.【問】【解】 また,したがって,つまり, したがって, 四角形 は正方形である. //

年共通テスト, 数学 の問題から. 三角形の不等関係は, 記事 〜 参照.【問】 【解】 角 が鋭角のときは, , したがって, 同様に, 角 が直角のときは, , したがって, 同様に, 角 が鈍角のときは, , したがって, 問 と同様にして, 記事 の結果から, である. であ…

年共通テスト, 数学 の問題から. 条件付き確率の問題はかなりやったので, 計算間違いさえしないよう気をつければ, これぐらいはすらすら解けると思う. 異常なまでに, つまらない問題である. 問題文ばかりが徒らに長くなるところなんか, まるで大画面化に走っ…

年共通テスト, 数学 の問題から. 直角三角形の外心が斜辺の中心にあるということがわかっていなければ話にならないが, 直角三角形でなくても成り立つ と の相似というのも, 幾何ではお馴染の事実で, すでに何度も使ってきた *1. したがって, 考えたり, その…

年共通テスト, 数学 から. 長い問題文によって訳の分からない誘導をされている内に, 考え方の柔軟性が失われてがんじがらめとなり, 普通に考えれば, 合同式を使って解けばよいだけの難易度のない問のはずが, そう解かない面倒なやり方へと誘われてしまう悪問…

センター試験 数学 の問題.【問】 【解】 もちろん, チェバ・メネラウスの両定理を使って求めてもよいけれど, 天秤法 *1 だとあっけない (解答時間 分未満). つまり, と には重さ の錘, には重さ の錘を置けばよい. と の錘の釣り合いから, には, の重さがか…

センター試験の過去問題から, もう 問, 年の図形問題をやってみることにした. 設問の中の の長さがわからないで, そのまま沈没した受験生が多かったとあるが, それは何かの世迷いごとで, まさかなあと思ってしまう. ※ なお, 記事 には, 年センター試験の図形…

散歩していたら, 菊の展示をやっていたので, ちょっと覗いたら, 肥後菊があった. 伊勢菊もあったけれど, 花の状態は少しよくなかった. 年, センター試験の数学 は平均点が例年の中でもっとも低いので, 難易度が高いとされる問題をやってみた. 最初の問は図形…

塾で小学校 年生に俳句を作ってもらった. 俳句を作るのは生まれて初めてらしい. 清らかに パックに並ぶ 秋たまご 群数列をやっておこう. 練習しておかないと意外と手間どることがある. お茶の水女子大の 年入試問題.【問 】 【解】 実際に書き出してみると,,…

条件付き確率の有名問題をいくつか, 簡単に確認して条件付き確率に関する記事はいったん終えよう. 最初は, モンティ・ホール問題. すでによく知られた問題をさらにあれこれと詮索する趣味はないので, 得られる結果のみ書く. その他の問題も, みな同じやり方…

年の旭川医科大学の問題. 定番だが一応やっておく.【問】【解】 悪性の疑い 良性の疑い 異常所見なし 検査陽性 検査陰性とすると,が, 事前確率である. さらに, である. ここで,したがって, ここで,したがって, ここで,したがって,である. ※ //

事前確率として, どのような確率分布が採用されるかが設問に定義されていない場合には, 事前確率をどのように考えるかによって, 異なる条件付き確率がえられることになる. 【問 】 壷の中には つしか球が含まれておらず, それぞれの球の色は白か黒である. こ…

早稲田大学の 年の入試問題だが, いまだにあちらこちらでよく取り上げられている. 条件付き確率の秀逸な例題であり, また忘れ物をした場合には, 最初に訪れた場所から確認していくのが合理的な行動であることを教えてくれる問題でもある (どこから探しても, …

年, 東大理科の問題. 問題を解くより, でどうやって遷移図を描くのか調べる方がはるかに時間がかかった.【問】 【解】 明らかに が偶数の場合しか終状態に到達しえないので, を偶数とし, 回目で, 終状態 または に到達する確率を とする. また, 回目で状態 …

年の一橋大の問題. いまさらだが, 組合せの数 というのは, もちろん 個の要素をもつ集合において 個の要素をもつ部分集合の個数のことをいう. 【問】 【解】 余事象で求める. 枚の識別されたカードから, 枚のカードを選んで並べるという全事象に対して, 先頭…

疲れたので, とても簡単な問題にする. 年の京大, 文理共通問題. 「知恵の輪熊」を読んで癒される.「知恵の輪熊」の可愛らしさは誰にもわかるまい｜些事にこだわり｜蓮實 重彦｜webちくま【問】 から までの自然数を 列に並べる. どの並べかたも同様の確から…