三角関数の還元公式 - ノリの悪い日記

三角関数の余角や補角の還元公式は上の図のようにグラフから判断するやり方 *1が一番直感的だし, 簡単だし, 早いと思うが, 微分や積分を使っても導ける. この方法だとほぼ瞬間的にわかるものもあるし, 時間がかかるものもある. (複素数で, $i$ , $-1$ , $-i$ をかけるよりは早い気もする. ) 電気回路の交流理論で (電圧に対して電流の) 位相が 90° 進むとか遅れるとかいうので, 馴染みのある人もいるだろう. 三角関数 ( $\sin x$ , $\cos x$ ) を $n$ 回高階微分すると, 位相が $n\pi/2$ 進み, $n$ 回高階積分すると, 位相が $n\pi/2$ 遅れる ( $-n\pi/2$ 進む) と見るということである. もっとも, 周期が $2\pi$ なので, $4$ 回微分したり, 積分すると元に戻ってしまう. たとえば,

$(\sin x)' = \cos x = \sin (x + \pi/2)$
$(\sin x)'' = -\sin x = \sin (x + \pi)$
$(\sin x)''' = -\cos x = \sin (x + 3\pi/2)$
$(\sin x)'''' = \sin x = \sin (x + 2\pi)$

となる (高階積分はこの逆のルートを辿る. このことは,

$\sin (x + \pi/2) = \sin (x - 3\pi/2)$
$\sin (x + \pi) = \sin (x - \pi)$
$\sin (x + 3\pi/2) = \sin(x - \pi/2)$

であるから, 自明である).

以下, 還元公式を求めてみる.

$\begin{align} \sin\left(x + \frac{\pi}{2} \right) &= (\sin x)' \\ &= \cos x \end{align}$

※ 上式は $x$ についての恒等式であるから, $x$ を $-x$ に置き換えて

$\begin{align} \sin\left(\frac{\pi}{2} -x \right) &= \cos (-x)\\ &= \cos x \end{align}$
以下, 同様.
//

$\begin{align} \sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right) &= \int \sin x dx \\ &= - \cos x\\ \end{align}$

$\begin{align} \cos\left(x+ \frac{\pi}{2} \right) &= (\cos x)' \\ &= -\sin x \end{align}$

$\begin{align} \cos\left(\frac{\pi}{2} - x \right) &= - \sin (-x) \\ &= \sin x \end{align}$

$\begin{align} \cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right) &= \int \cos x dx \\ &= \sin x\\ \end{align}$

$\begin{align} \sin(x + \pi ) &= (\sin x)''\\ &= -\sin x \end{align}$

$\begin{align} \sin(\pi -x ) &=- \sin( -x) \\ &= \sin x\\ \end{align}$

$\begin{align} \sin(x-\pi) &= \sin (x + \pi)\\ &= - \sin x\\ \end{align}$

$\begin{align} \cos(x + \pi) &= (\cos x)''\\ &= -\cos x \end{align}$

$\begin{align} \cos(\pi - x ) &= - \cos (-x)\\ &= - \cos x \end{align}$

$\begin{align} \cos(x-\pi) &= \cos(x+\pi) \\ &= -\cos x\\ \end{align}$

$\begin{align} \sin\left(x + \frac{3\pi}{2} \right) &= \sin\left(x - \frac{\pi}{2} \right)\\ &= -\cos x \end{align}$

$\begin{align} \sin\left(\frac{3\pi}{2} -x \right) &= -\cos (-x)\\ &= -\cos x \end{align}$

$\begin{align} \sin\left(x-\frac{3\pi}{2}\right) &= \sin\left(x +\frac{\pi}{2}\right)\\ &= \cos x\\ \end{align}$

$\begin{align} \cos\left(x + \frac{3\pi}{2}\right) &= \cos \left(x - \frac{\pi}{2}\right)\\ &= \sin x \end{align}$

$\begin{align} \cos\left(\frac{3\pi}{2} - x \right) &= \sin (-x)\\ &= -\sin x \end{align}$

$\begin{align} \cos\left(x-\frac{3\pi}{2}\right) &= \cos \left(x +\frac{\pi}{2}\right) \\ &= -\sin x\\ \end{align}$

*1:自分は cosineのグラフを思い浮かべると間違うことがあるので, 常に sineのグラフを思い浮かべて, cosine のときは, 更に $\pi/2$ 進めるようにしている. つまり $\cos x = \sin(x + \pi/2)$ に変換している.