量化条件の処理 - ノリの悪い日記

与えられた複雑な条件よりもより簡単な同値条件を求めるという問題は数学では非常に多くあるが, 最初に理解しておかないといけないのは, 一般的に「すべての」とか「存在する」とかの修飾を受け量化された変数 (束縛変数) は消去され, 自由変数のみの同値条件となるということではないだろうか. たとえば (最高次の係数が $0$ ではない) $2$ 次方程式の実数解 $x$ が存在する(﹅﹅﹅﹅)という条件と同値な判別式が負でないという条件には, もはや量化された変数 $x$ はどこにも含まれていない. 判別式の条件はどうして求まったかを反省してみれば, 量化条件をどのように処理すればよいかの感覚はつかめると思う. もうひとつ例をあげておけば, 「任意の実数 $x$ に対して整数 $n$ が存在して $|x-n| \leq r$ となる」と同値な条件は, $\displaystyle{\frac{1}{2} \leq r}$ である.

これを書いていて, 森毅があげていた例を思い出した. それは, 実数 $a$ , $b$ , $x$ について

$\forall x(b \leq x \rightarrow a \leq x)$

や

$\forall x(b < x \rightarrow a < x)$

や

$\forall x(b < x \rightarrow a \leq x)$

は, みな $a \leq b$ と同値であることの説明だった. 最後の命題と $a \leq b$ について自然演繹風に証明しておくと,

$a \leq b$ のとき, $b < x$ を仮定すると $(a \leq b) \wedge (b < x)$ から, $a < x$ が出る. これから $a \leq x$ である. 仮定は $b < x$ だったから, $b < x \rightarrow a \leq x$ となる (仮定 $b < x$ は落とす). 逆は, $a > b$ と仮定すると, $a > c > b$ となる $c$ が実数の稠密性により存在する. $b< c$ と $b < c \rightarrow a \leq c$ から, $a \leq c$ であるが, これは $a> c$ と矛盾する. したがって, $a>b \rightarrow \bot$ である (仮定 $a> b$ を落とす). これは $\lnot(a > b)$ , すなわち $a \leq b$ ということである. //

なお, $x$ と書くと, しばしば $\forall x$ が省略されることがあり, ますます訳がわからなくなる. 実際, 森毅は上記の $\forall x$ を省略していたし, その上最初は $x$ を $c$ と書いて, 「 $c$ といういかにも constant くさい文字が出てきたからといって, だまされてはいけない」などと嘯いていた. そもそも $\forall x$ なのか $\exists x$ なのか文脈から読みとらないと, 高校数学だって, 恒等式と方程式の違いさえもわからない.