ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (31)

オミナエシ。秋の七草のひとつだが、こんな頃からもう咲き始めるんだなあ。これは自生しているものだと信じたいが、もうこの辺の山野で自生している姿を普通に見かけるのは難しいのではないかと思う。

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ユリ。

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コムラサキ。

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ハゼラン。

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モモイロカイウ。まだ色が薄い。

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ハルシャギク。

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ヘクソカズラ。牧野富太郎先生の命名である。

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【問】

 p 3 以上の素数とする。 4 個の整数 a, b, c, d が次の 3 条件

 a + b + c + d = 0
 ad - bc + p = 0
 a \geq b \geq c \geq d

を満たすとき、 a, b, c, dp を用いて表せ。


【解】

 a = -(b + c + d)

から

 p \\
= bc  - ad \\
= bc + bd + cd + d^2\\
= (b+ d)(c + d)

となる。 p は素数で、 b + d \geq c + d だから、

 b+ d= p, c+d =1

または、

 b+ d= -1, c+d =-p (★)

である。最初の場合を仮定すると、

 a + b = -(c+d) = -1

から、 a+b \lt d + b、つまり  a \lt d となって、問いの三番目の条件である  a \geq d と矛盾する。

したがって、★の条件から、

 a \\
= -(b + c + d) \\
= d + 1 + p  + d - d\\
= d  + p + 1

 b = -d -1

 c = -d -p

と表されるが、問の三番目の条件から、

 d + p + 1 \geq -d -1 \geq -d -p \geq d

である。これから、

 \displaystyle{-\frac{p+2}{2} \leq d}

かつ

 \displaystyle{- \frac{2p+1}{2} \leq d}

だが、

 2p + 1 \gt p+2

から

 \displaystyle{-\frac{2p+1}{2} \lt -\frac{p+2}{2}}

なので、

 \displaystyle{-\frac{p+2}{2} \leq d}

である。また、

 \displaystyle{d \leq -\frac{1}{2}}

かつ

 \displaystyle{d \leq - \frac{p}{2}}

から

 \displaystyle{d \leq - \frac{p}{2}}

である。つまり、

 \displaystyle{-\frac{p+2}{2}  \leq d \leq - \frac{p}{2}}

となる。これと  p は奇素数、  d は整数であることから、

 \displaystyle{d = -\frac{p+1}{2}}

と求まる。これから、

 \displaystyle{
a = d + p + 1 = \frac{p+1}{2} \\
b = -d - 1= \frac{p -1}{2}\\
c = -d - p = -\frac{p - 1}{2}}

となる。//