ホンアマリリス。
ヒメオウギスイセン。
【問】
と
を互いに素、すなわち
以外の公約数をもたない正の整数とし、さらに
は奇数とする。正の整数
に対して整数
,
を
を満たすように定めるとき、次の を示せ。ただし、
が無理数であることは証明なしに用いてよい。
は奇数であり、
と
は互いに素である。
すべての
に対して、
は奇数であり、
と
は互いに素である。
【解】
の条件式で
とし、
から、
である。
は奇数、したがって
は奇数、
は偶数なので、
は奇数である。
と
が公約数として 素数
を持つと仮定する。そうすると、
を正の整数として、
と表すことができる。 を見ると、
は奇素数で、
は互いに素であることから、
は
どちらか一方の素因数である。
そこでまず と仮定すると、
の式から
だから、
は
を素因数として持つ。しかし、これは、
が互いに素であることと矛盾する。
今度は と仮定すると、
の式から、
となり、 は
を素因数に持つ。しかし、これは
が互いに素であることと矛盾する。
以上より、いずれの場合を仮定しても矛盾するので、 は互いに素である。
すべての正の整数 で
が奇数であることを数学的帰納法で証明する。
のときは問題の条件から奇数である。
のときに
は奇数であると仮定すると、
したがって、
となるが、
は、奇数
と 偶数
の和であるから奇数である。したがって、すべての
で
は奇数である。
次に、すべての正の整数 で
が互いに素であることを証明するために、そうではないことを仮定する。
すると、 が互いに素でない正の整数
が存在する。その最小の整数を
とする。
で証明したことから
である。
次に、 の場合を調べると、
から、 は互いに素でないから奇素数を公約数としてもつので、
も互いに素ではない。この手続きは無限回繰り返すことができるので、「すべての
で
は互いに素ではない」(★)。
一方、問 の結果から、
は互いに素である。
であったが、まったく同じようにして
となり、 は互いに素であることが帰納法で簡単に示せる。
(以下証明)
のときは、
で証明済み。
のとき、
が互いに素であるとすると、
と同じやり方で
が互いに素であることを示せる。
(以上証明終わり)
であるから、
となる
が存在する。なぜなら、もしそうでないとしたら、正の整数
が有限であることに矛盾するからである。そうすると、
より大きな整数で
が互いに素であるものが存在することになって、★ と矛盾する。
以上より、任意の正の整数 に対して、
は互いに素である。//