陥没地帯 (26) - ノリの悪い日記

ホンアマリリス。

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ヒメオウギスイセン。

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【問】
$a$ と $b$ を互いに素、すなわち $1$ 以外の公約数をもたない正の整数とし、さらに $a$ は奇数とする。正の整数 $n$ に対して整数 $a_{n}$ , $b_{n}$ を

$(a + b\sqrt{2})^n = a_{n}+ b_{n}\sqrt{2}$

を満たすように定めるとき、次の $\text{(1), (2) }$ を示せ。ただし、 $\sqrt{2}$ が無理数であることは証明なしに用いてよい。

$\text{(1)}$ $a_{2}$ は奇数であり、 $a_{2}$ と $b_{2}$ は互いに素である。
$\text{(2)}$ すべての $n$ に対して、 $a_{n}$ は奇数であり、 $a_{n}$ と $b_{n}$ は互いに素である。

【解】
$\text{(1)}$
$a_n, b_n$ の条件式で $n = 2$ とし、

$a_{2}+ b_{2}\sqrt{2} \\ =(a + b\sqrt{2})^2\\ = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt{2}$

から、

$a_{2} = a^2 + 2b^2$
$b_{2} = 2ab$

である。

$a$ は奇数、したがって $a^2$ は奇数、 $2b^2$ は偶数なので、 $a_2$ は奇数である。

$a_2$ と $b_2$ が公約数として素数 $p >2$ を持つと仮定する。そうすると、 $s, t$ を正の整数として、

$a_2 = a^2 + 2b^2 = ps$
$b_2 = 2ab = pt$

と表すことができる。 $b_2$ を見ると、 $p$ は奇素数で、 $a, b$ は互いに素であることから、 $p$ は $a, b$ どちらか一方の素因数である。

そこでまず $a = pa'$ と仮定すると、 $a_2$ の式から

$(pa')^2 + 2b^2 = ps$
$2b^2 = p(s - pa'^2)$

$p \neq 2$ だから、 $b$ は $p$ を素因数として持つ。しかし、これは、 $a ,b$ が互いに素であることと矛盾する。

今度は $b = pb'$ と仮定すると、 $a_2$ の式から、

$a^2 + 2(pb')^2 = ps$
$a^2 = p(s - 2pb'^2)$

となり、 $a$ は $p$ を素因数に持つ。しかし、これは $a, b$ が互いに素であることと矛盾する。

以上より、いずれの場合を仮定しても矛盾するので、 $a_2, b_2$ は互いに素である。

$\text{(2)}$
すべての正の整数 $n$ で $a_{n}$ が奇数であることを数学的帰納法で証明する。

$n = 1$ のときは問題の条件から奇数である。 $n = k$ のときに $a_k$ は奇数であると仮定すると、

$a_{k+1}+ b_{k+1}\sqrt{2} \\ = (a + b\sqrt{2})(a_k + b_k\sqrt{2})\\ = aa_{k} + 2bb_{k}+ (ab_{k}+ a_{k}b)\sqrt{2}$

したがって、

$a_{k+1}= aa_{k}+ 2bb_{k}$
$b_{k+1}= ab_{k} + a_{k}b$

となるが、

$a_{k+1}$ は、奇数 $aa_k$ と偶数 $2bb_{k}$ の和であるから奇数である。したがって、すべての $n$ で $a_{n}$ は奇数である。

次に、すべての正の整数 $n$ で $a_n, b_n$ が互いに素であることを証明するために、そうではないことを仮定する。

すると、 $a_n, b_n$ が互いに素でない正の整数 $n$ が存在する。その最小の整数を $m$ とする。 $\text{(1)}$ で証明したことから $m \gt 2$ である。

次に、 $n = m + 1$ の場合を調べると、

$a_{m+1}= aa_{m}+ 2bb_{m}$
$b_{m+1}= ab_{m} + a_{m}b$

から、 $a_{m}, b_{m}$ は互いに素でないから奇素数を公約数としてもつので、 $a_{m+1}, b_{m+1}$ も互いに素ではない。この手続きは無限回繰り返すことができるので、「すべての $n \geq m$ で $a_n, b_n$ は互いに素ではない」(★)。

一方、問 $\text{(1)}$ の結果から、 $a_2, b_2$ は互いに素である。

$a_{2}+ b_{2}\sqrt{2} \\ =(a + b\sqrt{2})^2\\ = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt{2}$

であったが、まったく同じようにして

$a_{4}+ b_{4}\sqrt{2} \\ =(a_2 + b_2\sqrt{2})^2\\ = a_2^2 + 2b_2^2 + 2a_2b_2\sqrt{2}$

$a_{8}+ b_{8}\sqrt{2} \\ =(a_4+ b_4\sqrt{2})^2\\ = a_4^2 + 2b_4^2 + 2a_4b_4\sqrt{2}$

$\cdots$

となり、 $a_{2^n}, b_{2^n}$ は互いに素であることが帰納法で簡単に示せる。

(以下証明)

$n = 1$ のときは、 $\text{(1)}$ で証明済み。 $n = k$ のとき、 $a_{2^k}, b_{2^k}$ が互いに素であるとすると、 $n = 1$ と同じやり方で　 $a_{2^{k+1}}, b_{2^{k+1}}$ が互いに素であることを示せる。
(以上証明終わり)

$2^{n+1} > 2^n$ であるから、 $2^n \gt m$ となる $n$ が存在する。なぜなら、もしそうでないとしたら、正の整数 $m$ が有限であることに矛盾するからである。そうすると、 $m$ より大きな整数で $a_n, b_n$ が互いに素であるものが存在することになって、★ と矛盾する。

以上より、任意の正の整数 $n$ に対して、 $a_n, b_n$ は互いに素である。//