ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (22)

シオカラトンボのメスで、俗にムギワラトンボである。

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アジサイ (アナベル)。

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【問】

2 次方程式 x^2 - 4x - 1 = 02 つの実数解のうち大きいものを \alpha, 小さいものを  \beta とする。

 n = 1, 2, 3, \cdots に対し

 s_n = \alpha^n + \beta^n

とおく。

\text{(1)}  s_1, s_2, s_3 を求めよ。また,  n \geq 3 に対し,  s_n s_{n-1} s_{n-2} で表せ。

 \text{(2)}  \beta ^3 以下の最大の整数を求めよ。

 \text{(3)} \alpha^{2003} 以下の最大の整数の 1 の位の数を求めよ。


【解】

\text{(1)}
 2 次方程式の係数と解の対称式の関係、

 \alpha + \beta = 4
 \alpha\beta= -1

から、 n \geq 3 について、

 s_n \\=\alpha^n + \beta^n \\ 
= (\alpha+\beta)(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}) \\ -\alpha\beta(\alpha^{n-2}+\beta^{n-2})\\
=4s_{n-1} + s_{n-2}

となる。また、

 s_1 = \alpha + \beta =4
 s_2 = (\alpha + \beta)^2-2 \alpha\beta=18
 s_3 = 4s_2+s_1 = 76

である。

\text{(2)}

x^2 - 4x - 1 = 0
(x-2)^2= 5

だから、

 x = 2 \pm \sqrt{5}

 \alpha \gt \beta だから、

 \beta = 2 - \sqrt{5}

である。

 2 \lt \sqrt{5} \lt 3 から、

 -3  \lt -\sqrt{5} \lt -2 なので、

 -1 \lt \beta \lt 0

である。

 0 \lt |\beta| \lt 1 なので、 0 \lt |\beta|^3 \lt |\beta| から、

 0 \lt |\beta|^3 \lt 1

であり、

 \beta^3 = (-1)^3|\beta|^3 = -|\beta|^3 なので、

 -1 \lt \beta^3 \lt 0

となって、求める整数は  -1 となる。

 \text{(3)}

 \text{(1)} で求めた漸化式、

 s_n =4s_{n-1} + s_{n-2}

を使って、 s_n 1 の位を実際に少し求めてみると

 s_1 \equiv 4  \ (\mathrm{mod} \ 10)
 s_2 \equiv 8  \ (\mathrm{mod} \ 10)
 s_3 \equiv 6  \ (\mathrm{mod} \ 10)
 s_4 \equiv 2  \ (\mathrm{mod} \ 10)
 s_5 \equiv 4  \ (\mathrm{mod} \ 10)
 s_6 \equiv 8  \ (\mathrm{mod} \ 10)

となる。 n について、

 s_{4n-3} \equiv 4  \ (\mathrm{mod} \ 10)
 s_{4n-2} \equiv 8  \ (\mathrm{mod} \ 10)
 s_{4n-1} \equiv 6  \ (\mathrm{mod} \ 10)
 s_{4n} \equiv 2  \ (\mathrm{mod} \ 10)

が成立することが数学的帰納法により容易に証明できる。

(以下証明)
 n = 1 はすでに確認しており成立。 n = k で成立と仮定すると、

 s_{4k+1} \equiv 4  \ (\mathrm{mod} \ 10)
 s_{4k+2} \equiv 8  \ (\mathrm{mod} \ 10)
 s_{4k+3} \equiv 6  \ (\mathrm{mod} \ 10)
 s_{4k+4} \equiv 2  \ (\mathrm{mod} \ 10)

となることが  \text{(1)} で求めた漸化式から示せるので、 n = k + 1 でも成り立つ。
(以上証明終わり)

 2003 = 2004 -1 で、 2004 4 の倍数なので 、すぐ上で証明した結果から、 s_{2003} 1 の位は  6 である。

また、 \text{(2)}  \beta^3 の代わりに  \beta^{2003} を当てはめると、

 0 \lt -\beta^{2003} \lt 1

となるので、

 \alpha^{2003} = s_{2003} -\beta^{2003}

より、

 s_{2003}  \lt \alpha^{2003} \lt  s_{2003}+1

となり、求める  1 の位は  6 である。//