陥没地帯 (22) - ノリの悪い日記

シオカラトンボのメスで、俗にムギワラトンボである。

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アジサイ (アナベル)。

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【問】

$2$ 次方程式 $x^2 - 4x - 1 = 0$ の $2$ つの実数解のうち大きいものを $\alpha$ , 小さいものを $\beta$ とする。

$n = 1, 2, 3, \cdots$ に対し

$s_n = \alpha^n + \beta^n$

とおく。

$\text{(1)}$ $s_1, s_2, s_3$ を求めよ。また, $n \geq 3$ に対し, $s_n$ を $s_{n-1}$ と $s_{n-2}$ で表せ。

$\text{(2)}$ $\beta ^3$ 以下の最大の整数を求めよ。

$\text{(3)}$ $\alpha^{2003}$ 以下の最大の整数の $1$ の位の数を求めよ。

【解】

$\text{(1)}$
$2$ 次方程式の係数と解の対称式の関係、

$\alpha + \beta = 4$
$\alpha\beta= -1$

から、 $n \geq 3$ について、

$s_n \\=\alpha^n + \beta^n \\ = (\alpha+\beta)(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1}) \\ -\alpha\beta(\alpha^{n-2}+\beta^{n-2})\\ =4s_{n-1} + s_{n-2}$

となる。また、

$s_1 = \alpha + \beta =4$
$s_2 = (\alpha + \beta)^2-2 \alpha\beta=18$
$s_3 = 4s_2+s_1 = 76$

である。

$\text{(2)}$

$x^2 - 4x - 1 = 0$
$(x-2)^2= 5$

だから、

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

$\alpha \gt \beta$ だから、

$\beta = 2 - \sqrt{5}$

である。

$2 \lt \sqrt{5} \lt 3$ から、

$-3 \lt -\sqrt{5} \lt -2$ なので、

$-1 \lt \beta \lt 0$

である。

$0 \lt |\beta| \lt 1$ なので、 $0 \lt |\beta|^3 \lt |\beta|$ から、

$0 \lt |\beta|^3 \lt 1$

であり、

$\beta^3 = (-1)^3|\beta|^3 = -|\beta|^3$ なので、

$-1 \lt \beta^3 \lt 0$

となって、求める整数は $-1$ となる。

$\text{(3)}$

$\text{(1)}$ で求めた漸化式、

$s_n =4s_{n-1} + s_{n-2}$

を使って、 $s_n$ の $1$ の位を実際に少し求めてみると

$s_1 \equiv 4 \ (\mathrm{mod} \ 10)$
$s_2 \equiv 8 \ (\mathrm{mod} \ 10)$
$s_3 \equiv 6 \ (\mathrm{mod} \ 10)$
$s_4 \equiv 2 \ (\mathrm{mod} \ 10)$
$s_5 \equiv 4 \ (\mathrm{mod} \ 10)$
$s_6 \equiv 8 \ (\mathrm{mod} \ 10)$

となる。 $n$ について、

$s_{4n-3} \equiv 4 \ (\mathrm{mod} \ 10)$
$s_{4n-2} \equiv 8 \ (\mathrm{mod} \ 10)$
$s_{4n-1} \equiv 6 \ (\mathrm{mod} \ 10)$
$s_{4n} \equiv 2 \ (\mathrm{mod} \ 10)$

が成立することが数学的帰納法により容易に証明できる。

(以下証明)
$n = 1$ はすでに確認しており成立。 $n = k$ で成立と仮定すると、

$s_{4k+1} \equiv 4 \ (\mathrm{mod} \ 10)$
$s_{4k+2} \equiv 8 \ (\mathrm{mod} \ 10)$
$s_{4k+3} \equiv 6 \ (\mathrm{mod} \ 10)$
$s_{4k+4} \equiv 2 \ (\mathrm{mod} \ 10)$