陥没地帯 (263) - ノリの悪い日記

$1995$ 年京大文系の問題. そんなに難しい問題ではない.

【問】
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【解】
$(1)$
法 $7$ で考える. $n \equiv 0$ のときは明らか. $n \not\equiv 0$ のときは, $n$ と $7$ は互いに素なので, フェルマーの小定理により, $n^7 \equiv n$ がいえる.

$(2)$
問 $(1)$ の結果から $n =1, 2, \cdots, 6$ の範囲で考えればよい. 再び法 $7$ で考えれば, $7^n \equiv 0$ に注意して,

$\displaystyle{ \sum_{k=1}^{7}k^n \equiv 1 + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n }$

である.

$3^6 \equiv 1$ から, $3$ は法 $7$ のもとでの原始根であり,

$3^2 \equiv 2$
$3^1 \equiv 3$
$3^4 \equiv 4$
$3^5 \equiv 5$
$3^3 \equiv 6$

と表わすことができる. すると, $3^n \not\equiv 1$ のとき, つまり, $n \neq 6$ のとき,

$\displaystyle{ 1 + 2^n + \cdots + 6^n \\ \equiv 1 + 3^n +(3^n)^2 + \cdots + (3^n)^5 \\ \equiv \frac{1-(3^n)^6}{1-3^n} \\ \equiv \frac{1-(3^6)^n}{1-3^n} \\ \equiv \frac{1-1^n}{1-3^n} \\ \equiv 0}$

となる. $n = 6$ のときは, 再びフェルマーの小定理から (または $3^6 \equiv 1$ から),

$1 + 2^n + \cdots + 6^n \\ \equiv 1 + 1 + \cdots + 1 \\ \equiv 6$

したがって, この問におけるわたくしの好きな自然数は $6$ で, $g(6) = 18$ である.//

※ 記事 $(250)$ で以下を証明しておいた. フェルマーの小定理はこれからすぐにでる.

$p$ が素数のとき,

$(a + b)^p \equiv a^p + b^p \pmod {p}$

これから, 帰納法を使って,

$(x_1 + \cdots +x_n)^p \equiv x_1^p + \cdots + x_n^p \pmod {p}$

を示すのは容易である. $x_i = 1$ として,

$(1+ \cdots +1)^p \equiv 1^p+\cdots +1^p \pmod{p}$

から, フェルマーの小定理が得られる. すなわち,

$a^p \equiv a \pmod{p}$

また, $a \not \equiv 0 \pmod{p}$ であれば,

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

と表わすこともできる.*1//

※ 法 $p$ ( $p$ は素数) のもとで $p-1$ 乗したときに「初めて」 $1 \pmod{p}$ となる (つまり位数が $p-1$ となる) 整数 $g$ を法 $p$ のもとでの原始根という. ここでは, 原始根の性質については証明がいるような使い方はしていないし, 容易なので省略する. *2 原始根は法 $7$ の場合, $\phi(7-1) = \phi(6)=2$ 個 *3 存在し, $3$ の他に $5$ がある. 原始根の存在定理の証明はガウスによって初めてなされた. 素数 $p$ を法とする剰余系 (環) は標数 $p$ の素体 (体の要素数が, 素数 $p$ 個である有限体. なお有限体は可換である) だが, その体の乗法群は位数 $p -1$ の巡回群であり, 原始根はその巡回群 $=$ 乗法群の生成元になっているということである.//