ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (253)

高校数学 整数問題

ちょっと古いんだけど, 1979 年の東大文理共通問題. 証明を書くまでに実験が必要.

【問】
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【解】
実験により, a \not \equiv 1 \pmod{4} と仮説をたてたので, これが正しいことを以下のように証明する.

なお, 以下に用いる合同式はすべて法 4 で考える.

必要条件:

a \equiv 1 ならば, u_2 \equiv 3 , u_3 \equiv 3, u_4 \equiv 0 となって, \{u_n\} に 4 の倍数が現れる. 対偶をとれば必要条件である.

十分条件:

まず, a \equiv 0 および a \equiv 2 のとき, 任意の n で, u_n \equiv 2 となることを以下に帰納法で示す.

u_1 \equiv 2 , u_2 \equiv 2 である. u_{n-2} \equiv 2, u_{n-1} \equiv 2 を仮定すると, u_n \equiv 2(a-1) であるが, a \equiv 0 でも a \equiv 2 でも, u_n \equiv 2 となる. したがって, 証明された.

次に, a \equiv 3 の場合だが, 実際に数列をいくつか求めてみると,

u_1 \equiv 2, u_2 \equiv 3, u_3 \equiv 3, u_4 \equiv 2, u_5 \equiv 3, u_6 \equiv 3, u_7 \equiv 2, u_8 \equiv 3, u_9 \equiv 3

となる. そこで, k を自然数として, u_{3k-2} \equiv 2 , u_{3k-1} \equiv 3 , u_{3k} \equiv 3 を仮定して帰納法で証明する.

u_{3k+1} \equiv 3u_{3k-1}-u_{3k} \equiv 2
u_{3k+2} \equiv 3u_{3k}-u_{3k+1} \equiv 3
u_{3k+3} \equiv 3u_{3k+1}-u_{3k+2} \equiv 3

となり, k+1 のときも成立する.

したがって, a \not \equiv 1 \pmod{4} ならば, 数列 \{u_n\} に 4 の倍数は現れない.

以上から必要十分条件は, a \not \equiv 1 \pmod{4} である.
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