ちょっと古いんだけど, 年の東大文理共通問題. 証明を書くまでに実験が必要.
【問】
【解】
実験により, と仮説をたてたので, これが正しいことを以下のように証明する.
なお, 以下に用いる合同式はすべて法 で考える.
必要条件:
ならば,
,
,
となって,
に
の倍数が現れる. 対偶をとれば必要条件である.
十分条件:
まず, および
のとき, 任意の
で,
となることを以下に帰納法で示す.
,
である.
,
を仮定すると,
であるが,
でも
でも,
となる. したがって, 証明された.
次に, の場合だが, 実際に数列をいくつか求めてみると,
,
,
,
,
,
,
,
,
となる. そこで, を自然数として,
,
,
を仮定して帰納法で証明する.
となり, のときも成立する.
したがって, ならば, 数列
に
の倍数は現れない.
以上から必要十分条件は, である.
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