ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (29)

グラジオラス。

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ヤマモモの実。

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ゲラニウム。

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ヤグルマカッコウ。タイマツバナ、ヤグルマハッカ、ベルガモット、ビーバーム、モナルダなどとそれぞれ好きなように呼んでいるなあ。

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スイレン。

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八重のムクゲ (木槿)。槿花と書くとキンカと読む。なお槿花は朝顔を指す場合もある。「槿」と「僅」。日本語は難しい。

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【問】

n を自然数とし、数式 x^n を整式 x^2 - 2x - 1 で割った余りを  ax + b とする。

このとき、ab は整数であり、さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ。


【解】

言い換えて、

n を任意の自然数とし、数式 x^n を整式 x^2 - 2x - 1 で割った余りを  a_nx + b_n とすると、a_nb_n は整数であり、互いに素である。

ことを数学的帰納法で証明する。

 n = 1 のとき、 a_1=1, b_1= 0 なので成立する。

 n = k のとき、a_kb_k は整数であり、互いに素であると仮定する。

x^kx^2-2x-1 で割ったときの商を  p_k(x) と書くと、

 x^{k+1} \\
= x\cdot x^{k+1} \\
= x\{p_k(x)(x^2-2x-1)+a_kx+b_k\}\\
= \{p_k(x)x+a_k\}(x^2-2x-1)
\\+(2a_k+b_k) x+a_k

だから、

 a_{k+1} = 2a_k + b_k
 b_{k+1} = a_k

となり、a_{k+1}, b_{k+1} は整数である。また、 2a_k + b_k a_k の最大公約数は、 a_k b_k の最大公約数に等しい。したがって、 a_{k+1}, b_{k+1} は互いに素である。//