ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (30)

フウセントウワタの実。道端で見つけた。

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花はこんなである。

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ヒャクジツコウ (百日紅)。木肌からサルスベリともいわれるが、夏椿なんかも同じような木肌をしているので、やはりサルスベリと呼ばれることがある。

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ハナウリクサ (トレニア)。ハナウリは「花売り」のことだと思いこんでいたのだが「花瓜」である。

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オカトラノオ。
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ユリ。
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メランポディウム。

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【問】
 a, b a \gt b を満たす自然数とし、 p, d は素数で  p \gt 2 とする。このとき、

 a^p - b^p = d

であるならば、 d  2p で割った余りが 1 であることを示せ。

【解】
 a^p - b^p \\
= (a - b)(a^{p - 1}+ a^{p - 2}b + \cdots + b^{p - 1}) \\
= d

ここで、 d は素数で、

 a^{p - 1}+ a^{p - 2}b + \cdots + b^{p - 1} \gt 1

だから、

 a-b = 1

である。そうすると、

 d \\
= a^p - b^p \\
= (b+1)^p - b^p \\
= _p \mathrm{C} _1 b^{p-1} + \cdots + _p \mathrm{C} _{p-1} b + 1

となる。つまり、

 d -1 \\
= _p \mathrm{C} _1 b^{p-1} + \cdots + _p \mathrm{C} _{p-1} b

である。ここで、 d は奇素数だから、左辺の  d -1 は偶数で  2 で割り切れる。一方、右辺をみると、 p は素数で、 1, \cdots, p-1 とはそれぞれ互いに素であることから、二項係数

 _p \mathrm{C} _1 , \cdots , _p \mathrm{C} _{p-1}

は (最大) 公約数  p \gt 2 をもつ。したがって、 d-1 2p で割り切れる。//