クチナシ。
ツユクサ。
ムクゲ。
ノウゼンカズラ。
コンロンカ (崑崙花)。
ヤナギバルイラソウ。
【問 1】
自然数 に対し、
個の二項係数
を考え、これらすべての最大公約数を とする。すなわち、
はこれらすべてを割り切る最大の自然数である。
が素数ならば、
であることを示せ。
すべての自然数
に対し、
が
で割り切れることを
に関する数学的帰納法によって示せ。
が偶数のときは、
は
または
であることを示せ。
【解】
について、
である。
は素数なので、自然数
とはそれぞれひとつずつ互いに素である。そうすると
と
は互いに素である。したがって、
には
が素因数として存在している。このことと、
から、 である。
では明らかに成立。
のとき、
は、
で割り切れると仮定する。
二項定理から、
となるが、
とおくと、
となる。
となるが、上式右辺の は、帰納法の仮定により
で割り切れるので、
は、
で割り切れ、
で成立する。
で使った、
から、今度は とすると、
は偶数だから、
であり、したがって
となる。 は正の整数だから、
または
である。
//
【問 2】
が相異なる素数
の積,
であるとき、
個の数
の最大公約数 は であることを示せ。
【解】
だから、約数は である。
ここで、
であるが、 と
の最大公約数は互除法の原理によって、
と
の最大公約数に等しく、
と
の最大公約数は、
と
の最大公約数に等しい。以下同様にして、最後に、
と
の最大公約数は、
と
の最大公約数に等しい。
は素数なので、自然数
とはそれぞれひとつずつ互いに素であることから、
は と互いに素である。また
は相異なる素数なので互いに素である。以上から、
は、
を約数にもたない。
同じようにして、 は
を約数にもたない。
以上より、最大公約数は である。//
