ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (23)

クチナシ。

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ツユクサ。

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ムクゲ。

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ノウゼンカズラ。

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コンロンカ (崑崙花)。

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ヤナギバルイラソウ。

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【問 1】

自然数  m \geq 2 に対し、m - 1 個の二項係数

 _m \mathrm{C} _1,  _m \mathrm{C} _2, \cdots, _m \mathrm{C} _{m-1}

を考え、これらすべての最大公約数を  d_m とする。すなわち、 d_m はこれらすべてを割り切る最大の自然数である。

 \text{(1)} m が素数ならば、 d_m = m であることを示せ。

 \text{(2)} すべての自然数 k に対し、 k^m - k d_m で割り切れることを k に関する数学的帰納法によって示せ。

 \text{(3)} m が偶数のときは、 d_{m}1 または  2 であることを示せ。

【解】

 \text{(1)}
 k = 1, \cdots, m-1 について、

 \displaystyle{_m \mathrm{C} _k = \frac{m(m-1)\cdots(m-k+1)}{k!}}

である。

 m は素数なので、自然数  1, 2, \cdots, m-1 とはそれぞれひとつずつ互いに素である。そうすると  m k! は互いに素である。したがって、 _m \mathrm{C} _k には  m が素因数として存在している。このことと、

 _m \mathrm{C}_1 = _m \mathrm{C} _{m-1} = m

から、 d_m = m である。

\text{(2)}
 k = 1 では明らかに成立。
 k = n のとき、 n^m - n は、 d_m で割り切れると仮定する。

二項定理から、

 (x + 1)^m \\
= x^m + _m \mathrm{C} _1 x^{m-1} + \cdots + _m \mathrm{C} _{m-1} x + 1

となるが、

 d_m \cdot F[x] = _m \mathrm{C} _1 x^{m-1} + \cdots + _m \mathrm{C}_{m-1} x

とおくと、

 (x + 1)^m = x^m + d_m \cdot F[x] + 1

となる。

 (n + 1)^m - (n +1)  \\
= n^m - n + d_m \cdot F[n]

となるが、上式右辺の  n^m -n は、帰納法の仮定により  d_m で割り切れるので、 (n + 1)^m - (n +1) は、 d_m で割り切れ、 k = n + 1 で成立する。

\text{(3) }
 \text{(2)} で使った、

 (x + 1)^m \\
= x^m + d_m \cdot F[x] + 1

から、今度は  x = -1 とすると、

 (-1)^m + d_m  \cdot F[-1] +1 = 0

 m は偶数だから、

 (-1)^m =1

であり、したがって

 d_m \cdot F[-1] = -2

となる。 d_m は正の整数だから、

 d_m = 1 または  d_m=2 である。
//


【問 2】

 n が相異なる素数  p, q の積,  n = pq であるとき、 n - 1 個の数

 _n \mathrm{C} _k ,  1 \leq k \leq n - 1

の最大公約数 は 1 であることを示せ。

【解】
 _n \mathrm{C} _1 = _n \mathrm{C} _{n-1} = n = pq

だから、約数は  1, p, q, pq である。

ここで、

 \displaystyle{_n \mathrm{C} _p 
\\ =  \frac{pq(pq-1)\cdots(pq-p+1)}{p!}
\\ = q \frac{(pq-1)(pq-2)\cdots(pq-p+1)}{(p-1)!}
}

であるが、 p pq-1 の最大公約数は互除法の原理によって、 p p -1 の最大公約数に等しく、p pq-2 の最大公約数は、 p p -2 の最大公約数に等しい。以下同様にして、最後に、 p pq -p+1 の最大公約数は、 p 1 の最大公約数に等しい。 p は素数なので、自然数  1, 2, \cdots, p-1 とはそれぞれひとつずつ互いに素であることから、

(pq-1)(pq-2)\cdots(pq-p+1)

 p と互いに素である。また  p, q は相異なる素数なので互いに素である。以上から、 _n \mathrm{C} _p は、 p, pq を約数にもたない。

同じようにして、 _n \mathrm{C} _q  q, pq を約数にもたない。

以上より、最大公約数は 1 である。//