陥没地帯 (28) - ノリの悪い日記

サクユリ。伊豆半島と伊豆諸島に自生する、原種としては世界最大の百合。

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ヤマユリ。日本を代表する花のひとつだと思うんだが、最近あまり見かけなくなった気がする。
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ユリ。

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【問】
$p$ を素数、 $n$ を正の整数とするとき, $(p^n)!$ は $p$ で何回割り切れるか。

【解】
$1,2,\cdots, p^n$ の内、素数 $p$ で割り切れる要素は、 $p^{n -1}$ 個ある。その $p^{n -1}$ 個を取り出すと、その内、さらに $p$ で割り切れる要素は $p^{n-2}$ 個ある……この手続きを繰り返すと、最後には、 $p$ でさらに割り切れる要素として $p^n$ ひとつだけが残る。以上の考察から、 $p$ で割り切れる回数は

$p^{n-1} + p^{n-2} + \cdots +1$

であり、この和を求めると

$\displaystyle{\frac{p^n -1}{p-1}}$

である ( $p$ は素数だから $p \gt 1$ )。//