ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

陥没地帯 (32)

バラ。

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ウイリー沖山さんが亡くなられたことを知って『山の人気者』を聞いた。


ウィリー沖山 アルペン・ミルクマン 1959 / Alpine Milkman


中野忠晴とコロムビア リズムボーイズ -  山の人氣者

【問】

 p を素数、a, b を互いに素な正の整数とするとき、

 (a + bi)^p

は、実数でないことを示せ。ただし、i は虚数単位を表す。


【解】

 p が偶数である  p = 2 のとき

 (a+ bi)^2 = a^2 - b^2 +2abi

は実数ではない。したがって、以降は  p が奇数である  p \gt 2 として議論を進める。

 (a + bi)^p の虚数部を  Yi とすれば、

 Y \\
= _p \mathrm{C} _1 a^{p-1}b - _p \mathrm{C} _3 a^{p-3}b^3 + \cdots + i^{p-1}b^p

となる。

 Y = 0 と仮定すると、二項係数  _p \mathrm{C} _1, \cdots, _p \mathrm{C} _{p-1} は (最大) 公約数  p をもつことから、上式右辺の最後の項、 i^{p-1}b^p p で割り切れ、したがって、 b^p p で割り切れる。これから、  b p で割り切れる。

ここで、 p \gt 2 であったから、

 \displaystyle{ \frac {Y}{pb} \\
\equiv a^{p-1} \ (\mathrm{mod} \ p)\\
 \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ p)}

であるが、 a, b は互いに素で、 b p で割り切れることから、 a p では割り切れない。そうすると上の結果は、(フェルマーの小定理、

 a^{p - 1} \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p)

と) 矛盾する。したがって、 Y \neq 0 である。//