ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

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陥没地帯 (32)

高校数学整数問題花

バラ。

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ウイリー沖山さんが亡くなられたことを知って『山の人気者』を聞いた。

ウィリー沖山　アルペン・ミルクマン 1959 / Alpine Milkman

中野忠晴とコロムビアリズムボーイズ　-　山の人氣者

【問】

$p$ を素数、 $a, b$ を互いに素な正の整数とするとき、

$(a + bi)^p$

は、実数でないことを示せ。ただし、 $i$ は虚数単位を表す。

【解】

$p$ が偶数である $p = 2$ のとき

$(a+ bi)^2 = a^2 - b^2 +2abi$

は実数ではない。したがって、以降は $p$ が奇数である $p \gt 2$ として議論を進める。

$(a + bi)^p$ の虚数部を $Yi$ とすれば、

$Y \\ = _p \mathrm{C} _1 a^{p-1}b - _p \mathrm{C} _3 a^{p-3}b^3 + \cdots + i^{p-1}b^p$

となる。

$Y = 0$ と仮定すると、二項係数 $_p \mathrm{C} _1, \cdots, _p \mathrm{C} _{p-1}$ は (最大) 公約数 $p$ をもつことから、上式右辺の最後の項、 $i^{p-1}b^p$ は $p$ で割り切れ、したがって、 $b^p$ は $p$ で割り切れる。これから、 $b$ は $p$ で割り切れる。

ここで、 $p \gt 2$ であったから、

$\displaystyle{ \frac {Y}{pb} \\ \equiv a^{p-1} \ (\mathrm{mod} \ p)\\ \equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ p)}$

であるが、 $a, b$ は互いに素で、 $b$ は $p$ で割り切れることから、 $a$ は $p$ では割り切れない。そうすると上の結果は、(フェルマーの小定理、

$a^{p - 1} \equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ p)$

と) 矛盾する。したがって、 $Y \neq 0$ である。//