陥没地帯 (246) - ノリの悪い日記

$2013$ 年東大理科. 容易に設問の意図がつかめず, 誘導であるはずの $(1)$ の不等式をどう使うのか, あれこれ悩まされる問題となっている. まず, この問題をやる前に, 次のことを理解するとよいかもしれない (余計わからなくなるかもしれないが……).

たとえば, $7 + 8 = 15$ , $7 \times 8 = 56$ の計算を同時にやるには次のようにやればよい.

$1007 \times 1008 = 1015056$

中間に和の $15$ が末尾に積の $56$ が出ているのが確認できると思う. これが,

$107 \times 108 = 11556$

だとぎりぎり大丈夫である.

$17 \times 18 = 306$

こうなると全然駄目である. 次に $111$ を考えると, $111$ は $3$ の倍数で,

$111 \div 3 = 37$

という素数になり, もちろん,

$36 + 37 + 38 = 111$

となる. また,

$36 \times 37 \times 38 = 50616$

であるが, 先程と同じようにこの $3$ つの数字をかけて, その答えの中に和である $111$ が現れるようにするには, (大きい数字は嫌なので, 小数を使うことにすると) たとえば,

$1.00036 \times 1.00037 \times 1.00038 \\=1.001110410650616$

とすれば良いことがわかる. このとき,

$1.00111\\ < 1.001110410650616\\ < 1.00112$

である.

【問】

次の命題を証明したい.

命題 $P$ 次の条件 $(a)$ , $(b)$ をともに満たす自然数 ( $1$ 以上の整数) $A$ が存在する.

$(a)$ $A$ は連続する $3$ つの自然数の積である.

$(b)$ $A$ を $10$ 進法で表したとき, $1$ が連続して $99$ 回以上現れるところがある.

以下の問いに答えよ.

$(1)$ $y$ を自然数とする. このとき不等式

$x^3 + 3yx^2 < (x + y - 1)(x + y)(x + y + 1) \\ \quad < x^3 + (3y + 1)x^2$

が成り立つような正の実数 $x$ の範囲を求めよ.

$(2)$ 命題 $P$ を証明せよ.

【解】

$(1)$
$(x + y - 1)(x + y)(x + y + 1) \\ = (x+y)^3 - (x+y)$

$(x+y)^3 -(x+y)- x^3 - 3yx^2 > 0$

から,

$(3y^2 -1) x + y^3 -y >0$

となるが, $y$ は自然数なので, この不等式は, $x > 0$ に対して常に成立する.

次に,

$x^3 + (3y+1)x^2- (x+y)^3 +(x+y) > 0$

から,

$x^2 + (1- 3y^2) x +y- y^3>0$

となるが,

$f(x) = x^2 + (1- 3y^2) x +y- y^3$

とおくと, $y$ は自然数なので, $f(0) < 0$ となり, $f(x)= 0$ は異なる実解をもつ. また $2$ 次関数の軸は, $x> 0$ にあるので, $x>0$ で $f(x) >0$ となるのは,

$\displaystyle{x > \frac{3y^2 -1 + \sqrt{(3y^2 -1 )^2 - 4y +4y^3}}{2} \\ = \frac{3y^2 -1 + \sqrt{9y^4 +4y^3-6y^2-4y+1}}{2} }$

のときである.

$(2)$
$\displaystyle{3y = \overbrace{111 \cdots \cdots 111}^{99\text{個}}}$ とする. ここで右辺は, $3$ で割り切れるので, $y$ は自然数である. また,

$\displaystyle{3y = \frac{10^{99}-1}{9}}$

と表わすことができる. *1

ここで, 問 $(1)$ で求めた $x$ の範囲を満たすように, 自然数 $p$ をとって $x = 10 ^p$ とすると,

$10^{3p} + 3y\cdot 10^{2p} \\< (10^p + y - 1)(10^p + y)(10^p + y + 1) \\ < 10^{3p} + (3y + 1)10^{2p}$

をみたす.

$\displaystyle{3y\cdot 10^{2p} = \frac{10^{99}-1}{9}\cdot 10^{2p}}$

だから, さらに

$3p > 99 + 2p$

つまり,

$p > 99$

も条件に加えて $x = 10^p$ を充分大きくとることとすれば, $2$ つの不等式にはさまれた自然数は, $1$ を連続して $99$ 個含んでいることになるから, 命題 $P$ は証明された. //

*1: $R_{99} = 1 + 10 + \cdots + 10^{98}$ に等比数列の和の公式を当てはめればよい. なお $R_n$ は単位 ( $1$ ) が繰り返されるという意味で, レプユニット数と呼ばれることがある.