ワン・プラス・ワン - ノリの悪い日記

『女は女である』(1961) と『ワン・プラス・ワン』(1968) を見た。『女は女である』(1961) を見ると山田宏一の名著『友よ映画よ』(1978) を読み返さずにはいられない。そうだった、『恋人のいる時間』の主演は最終的にはマーシャ・メリルとなったが、もともと浜美枝の予定だったんだ。『はなればなれに」(1964) はこの間見直したばかりだけど、やっぱりもう一度見よう。

「ワン・プラス・ワン」なので、算数の $2$ 桁同士の数字の掛け算について書いてみた。

$\begin{array}{rrrrr} &&7&9\\ \times &&6&8\\ \hline &4&2&7&2 \\ &&5&6\\ +&&5&4 \\\hline &5&3&7&2 \end{array}$

これを暗算するときは、

$(7\times8 +6 \times 9) \times 10 = 1100$
$1100+ 9\times8 = 1172$
$1172+ 7\times6 \times 100 = 5372$

としているが、いろいろなやり方があるだろう (式だとこう書くが $1100$ を最後から $2$ つ目で区切って $11$ と $00$ のパートに分けて、それぞれのパートに $7 \times 6$ 、 $9 \times 8$ を順番に加えて置き換えていく感覚である)。いずれにしても、計算にあたっては、 $7\times8 +6 \times 9 =110$ という積和の「中間数」をまず計算し、この中間数を二つに分割して $10$ 位数同士、 $1$ 位数同士の積をそれぞれ加えて結果を得ることが基本である。

$78 \times 78$ のような場合は簡単になる。

$7\times8 \times 2 \times 10 = 1120$
$1120+ 8 \times 8 = 1184$
$1184+ 7\times 7 \times 100 = 6084$

$44 \times 77$ のような場合もだ。

$4\times7 \times 2 \times 10 = 560$
$560+ 4\times7 = 588$
$588+ 4\times 7 \times 100 = 3388$

$68 \times 62$ のように $10$ の位の数字が同じで、 $1$ の位の数字の和が $10$ になる場合は特に簡単になる。

$6\times (8 +2) \times 10 = 600$
$600+ 6 \times 6 \times 100 = 6 \times 7 \times 100 = 4200$
$4200 + 8 \times2 = 4216$

つまり、

$6 \times (6+1) \times 100 = 4200$
$4200 + 8 \times2 = 4216$

とすればよい。これは、

$\begin{align} 68 \times 62 &= (60 + 8)(60 + 2)\\ &=60 \times 60 + 60 \times 10 + 8 \times 2\\ &= 60 \times 70 + 8 \times 2 \\ \end{align}$

から、容易に理解できるだろう。上の計算は $24 \times 18 = 2 \times 12 \times 18$ のような場合にも実は使える。

$2 \times (1+ 1) \times 100 = 400$
$400 + 4 \times 8 = 432$

同様に $36 \times 18 = 3 \times 12 \times 18$ は、

$3 \times (1+ 1) \times 100 = 600$
$600 + 6 \times8 = 648$

さらに $13 \times 24 = 1/2 \times 26 \times 24$ は、

$1 \times (2+ 1) \times 100 = 300$
$300 + 3 \times 4 = 312$

ただし $81 \times 23 = 3 \times 27 \times 23$ のように桁上がりがある場合に正しい結果とするには、

$6 \times (2+1) \times 100 + 21 \times 3 = 1863$

とする必要があり、注意が必要である。

※ この計算は便利なので、

$\begin{align} 26 \times 35 &= 26(24 +10 +1)\\ &=624 + 260 + 26\\ &= 910\\ \end{align}$

などとして使える。もちろん、

$\begin{align} 26 \times 35 &= 26(34 +1)\\ &=(30-4)(30+4)+ 26\\ &= 900 -16 + 26\\ &= 910 \end{align}$

ともできる。 $10$ 位の数字が $10$ だけ違い、 $1$ 位の数字の和が $10$ になる場合も簡単に計算できる。
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実は、 $10$ の位が同じ数字で $1$ の位の数字の和が $10$ を超える場合も簡単に計算できる方法がある。前にあげた $78 \times 78$ の例の場合、 $1$ の位の和は $16$ だがこれを $1$ と $6$ に分解して、

$7\times 6 \times 10 = 420$
$420+ 8 \times 8 = 484$
$484+ 7\times (7+1) \times 100 = 6084$

とすればよい。これは、

$\begin{align} 78 \times 78 &= 78(72 +6)\\ &=70 \times 80 + 8 \times 2 + 78 \times 6\\ &= 70 \times 80 + 8 \times 8 + 70 \times 6\\ \end{align}$

と変形すれば理解できるだろう。もうひとつ $46 \times 47$ をやってみると、 $1$ の位の数字の和は $13$ だから次のようになる。

$4\times 3 \times 10 = 120$
$120+ 6 \times 7 = 162$
$162 + 4\times (4+1) \times 100 = 2162$

$66 \times 82$ のような場合も簡単になる。

$6\times (8 +2) \times 10 = 600$
$600 + 6 \times2 = 612$
$612+ 6 \times 8 \times 100 = 5412$

上の例の場合 (被乗数の $1$ 位と $10$ 位が同数で乗数の $1$ 位と $10$ 位の和が $10$ のとき)、更に簡単に

$6\times (8 +1) \times 100 = 5400$
$5400 + 6 \times2 = 5412$

と計算できる。これは、

$\begin{align} 66 \times 82 &= (60 + 6)(80 + 2)\\ &=60 \times 80 + 60 \times 2 + 60 \times 8 \\&\quad + 6 \times 2\\ &= 60 \times (80 + 10) + 6 \times 2 \\ \end{align}$

から理解できる。

$86 \times 26$ のような場合も簡単になる。

$(8 +2) \times 6 \times 10 = 600$
$600+ 6 \times 6 = 636$
$636+ 8 \times 2 \times 100= 2236$

この場合 (被乗数と乗数の $1$ 位が同数で被乗数の $10$ 位と乗数の $10$ 位の数字の和が $10$ のとき)は、更に簡単に

$(8 \times 2 + 6) \times 100 = 2200$
$2200 + 6 \times 6 = 2236$

でよい。

$10$ の位の数字がともに $1$ の $17 \times 18$ のような場合は、次のやり方の方がより簡単である。

$(17 + 8 ) \times 10 = 250$
$250 + 7 \times 8 = 306$

あるいは、

$\begin{align} 17 \times 18 &= (20 -3)(20 -2)\\ &=(20-3-2) \times 20 + 3 \times 2 \\ &= 300 + 6\\ &= 306 \end{align}$

ともできるし、もちろん、 $7 + 8 = 15$ だから

$5 \times 1 \times 10 = 50$
$50 + 7\times 8 = 106$
$106 + 1 \times (1 + 1) \times 100 = 306$

としてもよいが、少しまどろっこしいので $256 + 50 = 306$ といきなり計算するのだろう。

※ このような計算は他の積にも応用可能である。たとえば、

$\begin{align} 26 \times 35 &= (20 + 6)(20 + 15)\\ &=41 \times 20 + 6 \times 15 \\ &= 820 + 90\\ &= 910 \end{align}$

$\begin{align} 19 \times 23 &= (20 -1 )(20 + 3)\\ &=22 \times 20 -1 \times 3 \\ &= 440 -3 \\ &= 437 \end{align}$

$\begin{align} 98^2 &= (100 -2 )(100-2)\\ &=96 \times 100 + 2 \times 2 \\ &= 9604 \end{align}$

$\begin{align} 992^2 &= (1000 -8 )(1000-8)\\ &=984 \times 1000 + 8 \times 8 \\ &= 984064 \end{align}$

$\begin{align} 56^2 &= (50+ 6)(50+6)\\ &=62 \times 50 + 6 \times 6 \\ &= 31 \times 100 + 36\\ &= 3136 \end{align}$

※ $50$ 台の整数の自乗は、この方法によるよりも、

$\begin{align} 56^2 &= (5 \times 5 +6) \times 100 + 6 \times 6 \\ &= 3136 \end{align}$

とした方が速い。また、

$\begin{align} 46^2 &= \{50 - (10-6)\}^2\\ &= \{5^2 -(10-6)\}\times 100 + (10-6)^2\\ &= (15+6)\times 100 + (10-6)^2\\ &= 2116 \end{align}$

と $40$ 台の整数の自乗も計算できる。
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$\begin{align} 498^2 &= (500-2)(500-2)\\ &=500 \times (500-4) + 2 \times 2 \\ &= 1000 \times (250-2) + 4\\ &= 248004 \end{align}$

ただ、 $72^2$ , $78^2$ なんかは、

$\begin{align} 72^2 &= 4904 + 280\\ &=5184 \end{align}$

$\begin{align} 78^2 &= 5664 + 420\\ &=6084 \end{align}$

と計算した方が早い。
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最後にこれは、 $2$ 桁同士の乗算ではないが、普通に筆算するときも、以下のように一番小さい数から始める方が早いなあ。 $4$ 倍は $2$ 倍の結果を倍すればよいし、最後の $6$ 倍は $2$ 倍と $4$ 倍の結果を足せばよい。(この例にはないが、 $3$ 倍は $1$ 倍と $2$ 倍の結果を足せばよい。 $5$ 倍は $3$ 倍と $2$ 倍の結果を足すか、 $10$ 倍を $2$ で割ればよい。 $7$ 倍は $10$ 倍から $3$ 倍の結果を引けばよい。以下同様に、 $8$ 倍は $10$ 倍から $2$ 倍の結果を引けばよい。 $9$ 倍は $10$ 倍から $1$ 倍の結果を引けばよい。)

$\begin{array}{rrrrrr} &&&&4&5&9\\ \times &&&&4&2&6\\ \hline &&&9&1&8 \\ &1&8&3&6\\ +&&&2&7&5&4 \\\hline &1&9&5&5&3&4 \end{array}$