ノリの悪い日記

古今東西の映画、ポピュラー音楽、その他をいまここに交錯させながら随想します。

ワン・プラス・ワン

『女は女である』(1961) と『ワン・プラス・ワン』(1968) を見た。『女は女である』(1961) を見ると山田宏一の名著『友よ映画よ』(1978) を読み返さずにはいられない。そうだった、『恋人のいる時間』の主演は最終的にはマーシャ・メリルとなったが、もともと浜美枝の予定だったんだ。『はなればなれに」(1964) はこの間見直したばかりだけど、やっぱりもう一度見よう。

「ワン・プラス・ワン」なので、算数の 2 桁同士の数字の掛け算について書いてみた。


\begin{array}{rrrrr} &&7&9\\ \times &&6&8\\
\hline &4&2&7&2 \\ &&5&6\\ +&&5&4 \\\hline &5&3&7&2
\end{array}

これを暗算するときは、

 (7\times8 +6 \times 9) \times 10 = 1100
 1100+  9\times8 = 1172
 1172+  7\times6 \times 100 = 5372

としているが、いろいろなやり方があるだろう (式だとこう書くが 1100 を最後から 2 つ目で区切って 1100 のパートに分けて、それぞれのパートに  7 \times 6 9 \times 8 を順番に加えて置き換えていく感覚である)。いずれにしても、計算にあたっては、  7\times8 +6 \times 9 =110 という積和の「中間数」をまず計算し、この中間数を二つに分割して10 位数同士、 1 位数同士の積をそれぞれ加えて結果を得ることが基本である。

 78 \times 78 のような場合は簡単になる。

 7\times8 \times 2  \times 10 = 1120
 1120+  8 \times 8 = 1184
 1184+  7\times 7 \times 100 = 6084

 44 \times 77 のような場合もだ。

 4\times7 \times 2  \times 10 = 560
 560+  4\times7 = 588
 588+  4\times 7 \times 100 = 3388

 68 \times 62 のように 10 の位の数字が同じで、1 の位の数字の和が 10 になる場合は特に簡単になる。

 6\times (8 +2)  \times 10 = 600
 600+  6 \times 6 \times 100 = 6 \times 7 \times 100 = 4200
 4200 +  8 \times2 = 4216

つまり、

 6 \times (6+1) \times 100 = 4200
 4200 +  8 \times2 = 4216

とすればよい。これは、

 \begin{align} 
68 \times 62 &= (60 + 8)(60 + 2)\\
&=60 \times 60 + 60 \times 10 + 8 \times 2\\
&= 60 \times 70 + 8 \times 2 \\
\end{align}

から、容易に理解できるだろう。上の計算は  24 \times 18 = 2 \times 12 \times 18 のような場合にも実は使える。

 2 \times (1+ 1) \times 100 = 400
 400 +  4 \times 8 = 432

同様に  36 \times 18 = 3 \times 12 \times 18 は、

 3 \times (1+ 1) \times 100 = 600
 600 +  6 \times8 = 648

さらに  13 \times 24 = 1/2 \times 26 \times 24 は、

 1 \times (2+ 1) \times 100 = 300
 300 +  3 \times 4 = 312

ただし  81 \times 23 = 3 \times 27 \times 23 のように桁上がりがある場合に正しい結果とするには、

 6 \times (2+1) \times 100 +  21 \times 3 = 1863

とする必要があり、注意が必要である。

※ この計算は便利なので、

 \begin{align} 
26 \times 35 &= 26(24 +10 +1)\\
&=624 + 260 + 26\\
&= 910\\
\end{align}

などとして使える。もちろん、

 \begin{align} 
26 \times 35 &= 26(34 +1)\\
&=(30-4)(30+4)+ 26\\
&= 900 -16 + 26\\
&= 910
\end{align}

ともできる。10 位の数字が 10 だけ違い、1 位の数字の和が 10 になる場合も簡単に計算できる。
//

実は、 10 の位が同じ数字で  1 の位の数字の和が 10 を超える場合も簡単に計算できる方法がある。前にあげた  78 \times 78 の例の場合、  1 の位の和は 16 だがこれを 16 に分解して、

 7\times 6 \times 10 = 420
 420+  8 \times 8 = 484
 484+  7\times (7+1)  \times 100 = 6084

とすればよい。これは、

 \begin{align} 
78 \times 78 &= 78(72 +6)\\
&=70 \times 80 + 8 \times 2 + 78 \times 6\\
&= 70 \times 80 + 8 \times 8 + 70 \times 6\\
\end{align}

と変形すれば理解できるだろう。もうひとつ  46 \times 47 をやってみると、 1 の位の数字の和は 13 だから次のようになる。

 4\times 3 \times 10 = 120
 120+  6 \times 7 = 162
 162 +  4\times (4+1)  \times 100 = 2162

 66 \times 82 のような場合も簡単になる。

 6\times (8 +2)  \times 10 = 600
 600 +  6 \times2 = 612
 612+  6 \times 8 \times 100 = 5412

上の例の場合 (被乗数の 1 位と 10 位が同数で乗数の 1 位と 10 位の和が10 のとき)、更に簡単に

 6\times (8 +1)  \times 100 = 5400
 5400 +  6 \times2 = 5412

と計算できる。これは、

 \begin{align} 
66 \times 82 &= (60 + 6)(80 + 2)\\
&=60 \times 80 + 60 \times 2 + 60 \times 8 \\&\quad +  6 \times 2\\
&= 60 \times (80 + 10)  + 6 \times 2 \\
\end{align}

から理解できる。

 86 \times 26 のような場合も簡単になる。

 (8 +2) \times 6 \times 10 = 600
 600+  6 \times 6 = 636
 636+  8 \times 2 \times 100= 2236

この場合 (被乗数と乗数の 1 位が同数で被乗数の 10 位と乗数 の 10 位の数字の和が10 のとき)は、更に簡単に

 (8 \times 2 + 6) \times 100 = 2200
 2200 +  6 \times 6 = 2236

でよい。

10 の位の数字がともに 117 \times 18 のような場合は、次のやり方の方がより簡単である。

 (17 + 8 )  \times 10 = 250
 250 +  7 \times 8 = 306

あるいは、

 \begin{align} 
17 \times 18 &= (20 -3)(20 -2)\\
&=(20-3-2) \times 20 + 3 \times 2 \\
&= 300 + 6\\
&= 306
\end{align}

ともできるし、もちろん、 7 + 8 = 15 だから

 5 \times 1 \times 10 = 50
 50 + 7\times 8 = 106
 106 +  1 \times (1 + 1) \times 100 = 306

としてもよいが、少しまどろっこしいので  256 + 50 = 306 といきなり計算するのだろう。

※ このような計算は他の積にも応用可能である。たとえば、

 \begin{align} 
26 \times 35 &= (20 + 6)(20 + 15)\\
&=41 \times 20 + 6 \times 15 \\
&= 820 + 90\\
&= 910
\end{align}

 \begin{align} 
19 \times 23 &= (20 -1 )(20 + 3)\\
&=22 \times 20 -1 \times 3 \\
&= 440 -3 \\
&= 437
\end{align}

 \begin{align} 
98^2 &= (100 -2 )(100-2)\\
&=96 \times 100 + 2 \times 2 \\
&= 9604
\end{align}

 \begin{align} 
992^2 &= (1000 -8 )(1000-8)\\
&=984 \times 1000 + 8 \times 8 \\
&= 984064
\end{align}

 \begin{align} 
56^2 &= (50+ 6)(50+6)\\
&=62 \times 50 + 6 \times 6 \\
&= 31  \times 100 + 36\\
&= 3136
\end{align}

 50 代の整数の自乗は、この方法によるよりも、

  \begin{align} 
56^2 &= (5 \times 5 +6) \times 100 + 6 \times 6 \\
&= 3136
\end{align}

とした方が速い。//

 \begin{align} 
498^2 &= (500-2)(500-2)\\
&=500 \times (500-4) + 2 \times 2 \\
&= 1000  \times (250-2) + 4\\
&= 248004
\end{align}

ただ、 72^2, 78^2 なんかは、

 \begin{align} 
72^2 &= 4904 + 280\\
&=5184
\end{align}

 \begin{align} 
78^2 &= 5664 + 420\\
&=6084
\end{align}

と計算した方が早い。
//

最後にこれは、2 桁同士の乗算ではないが、普通に筆算するときも、以下のように一番小さい数から始める方が早いなあ。 4 倍は 2 倍の結果を倍すればよいし、最後の 6 倍は 2 倍と 4 倍の結果を足せばよい。(この例にはないが、 3 倍は 1 倍と 2 倍の結果を足せばよい。5 倍は 3 倍と 2 倍の結果を足すか、 10 倍 を 2 で割ればよい。 7 倍は 10 倍から 3 倍の結果を引けばよい。以下同様に、8 倍は 10 倍から 2 倍の結果を引けばよい。9 倍は 10 倍から 1
倍の結果を引けばよい。)


\begin{array}{rrrrrr} &&&&4&5&9\\ \times &&&&4&2&6\\
\hline &&&9&1&8 \\ &1&8&3&6\\ +&&&2&7&5&4 \\\hline &1&9&5&5&3&4
\end{array}